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確率分布

確率の計算

条件つき確率

1から15までの番号札があり、その15枚の札から任意に1枚を選ぶ。 このとき、2の倍数を選ぶという事象をA、3の倍数を選ぶという事象をBとすると、
$P(A)={\frac {7}{15}}$, $P(B)={\frac {5}{15}}={\frac {1}{3}}$, $P(A\cap B)={\frac {2}{15}}$ となる。

このとき、選び出された札が2の倍数であるとわかったとして、それが3の倍数である確率$p$を考える。 $p$は、2の倍数である札7枚の中から、6の倍数である札2枚を選ぶ確率であるから
$p={\frac {2}{7}}={\frac {n(A\cap B)}{n(A)}}$
事象Aが起こったとして、そのときに事象Bの起こる確率を、Aが起こったときのBの条件つき確率といい、$P_{A}(B)$で表す。

$P_{A}(B)={\frac {n(A\cap B)}{n(A)}}$
この式の右辺の分母、分子をそれぞれ$n(U)$で割ると
$P_{A}(B)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}}$

• 問題例

• • 問題

ある観光バスの乗客のうち、60%が女性で、42%が50歳以上の女性である。女性の中から任意に1人を選び出したとき、その人が50歳以上である確率を求めよ。

• • 解答

「女性である」事象をA、「50歳以上である」事象をBとする。
$P(A)={\frac {60}{100}},P(A\cap B)={\frac {42}{100}}$
よって、求める確率は

$P_{A}(B)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}}={\cfrac {\cfrac {42}{100}}{\cfrac {60}{100}}}={\frac {7}{10}}$

$P_{A}(B)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}}$の分母を払うと、次のようになる。

乗法定理

$P(A)\neq 0$のとき $P(A\cap B)=P(A)P_{A}(B)$

• 問題例

• • 問題

5本のくじの中に3本の当たりくじがある。a、b2人が、引いたくじをもとに戻さないで、a、bの順に1本ずつくじを引くとき、2人とも当たる確率を求めよ。

• • 解答

aが当たるという事象をA、bが当たるという事象をBとすると、求める確率は$P(A\cap B)$である。
aが当たったとき、残り4本のくじの中に当たりくじが2本あるから

$P_{A}(B)={\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}$

よって、2人とも当たる確率は

$P(A\cap B)=P(A)P_{A}(B)={\frac {3}{5}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {3}{10}}$

事象の独立・従属

1個のさいころを投げるとき、偶数の目が出る事象をA、3の倍数の目が出る事象をB、4以上の目が出る事象をCとすると、

A={2,4,6} , B={3,6} , C={4,5,6}

このとき $P_{A}(B)={\frac {1}{3}}$, $P(B)={\frac {2}{6}}={\frac {1}{3}}$より、$P_{A}(B)=P(B)$が成り立つ。つまり、事象Aが起こることは事象Bが起こることに影響を与えていない。
また、$P_{A}(C)={\frac {2}{3}}$ , $P(C)={\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}$より、$P_{A}(C)\neq P(C)$が成り立つ。つまり、事象Aが起こることは事象Cが起こることに影響を与えている。

2つの事象A , Bについて、事象Aの起こることが事象Bの起こることに影響を与えないとき、AとBは独立であるという。また、AとBが独立でないとき、AとBは従属であるという。

事象AとBが独立であるとき、$P_{A}(B)=P(B)$である。乗法定理を用いると、事象の独立について、次のことが成り立つ。

事象の独立

事象AとBが独立である$\Leftrightarrow P(A\cap B)=P(A)P(B)$

• 問題例

• • 問題

トランプのハートのカードが1組13枚ある。
(1)初めにAが1枚引き、そのカードをもとに戻さないで、次にBが1枚引く場合、A、Bがともに絵札を引く確率を求めよ。
(2)初めにAが1枚引き、そのカードをもとに戻して、次にBが1枚引く場合、A、Bがともに絵札を引く確率を求めよ。

• • 解答

Aが絵札を引くという事象をA、Bが絵札を引くという事象をBとする。
(1) AとBがともに絵札を引くという事象は $A\cap B$ で表される。
　　Aが絵札を引く確率は　　$P(A)={\frac {3}{13}}$
　　Aが絵札を引いたあと、12枚のカードの中に絵札が2枚残っているから、Bが絵札を引く確率$P_{A}(B)$は、　　$P_{A}(B)={\frac {2}{12}}={\frac {1}{6}}$
　　よって　　$P(A\cap B)=P(A)P_{A}(B)={\frac {3}{13}}\times {\frac {1}{6}}={\frac {1}{26}}$
(2) Aが引いたカードは、もとに戻すから、2つの事象A、Bは互いに独立である。
　　したがって確率は　　$P(A\cap B)=P(A)P(B)={\frac {3}{13}}\times {\frac {3}{13}}={\frac {9}{169}}$

確率分布

確率変数と確率分布

1枚の硬貨を2回続けて投げる試行において、表の出る回数をXで表す。Xのとりうる値は、0 , 1 , 2 である。 それぞれが起こる確率は
$X=0$となる確率は　　${\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {1}{4}}$
$X=1$となる確率は　　${}_{2}C_{1}\times {\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}$
$X=2$となる確率は　　${\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {1}{4}}$

この結果を表にすると、次のようになる。

$X$	0	1	2	計
確率	$\quad {\frac {1}{4}}\quad$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{4}}$	$1$

一般に、Xが有限個の値 $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$ をとる変数で、$X=x_{1},X=x_{2},\cdots ,X=x_{n}$ となる確率 $p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}$ が与えられて、

$p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{n}=1\qquad \qquad p_{1}\geq 0,p_{2}\geq 0,\cdots ,p_{n}\geq 0$

を満たすとき、Xを確率変数という。
このとき$x_{k}$ と $p_{k}$ の対応は下の表のようになる。

$X$	$x_{1}$	$x_{2}$	$\cdots$	$x_{n}$	計
$P$	$p_{1}$	$p_{2}$	$\cdots$	$p_{n}$	$1$

この対応関係をXの確率分布という。$X=x_{k}$ となる確率を $P\left(X=x_{k}\right)$ と書く。

確率変数の平均・分散・標準偏差

確率変数Xの確率分布が次の表で与えられているとする。

確率分布の表

$X$	$x_{1}$	$x_{2}$	$\cdots$	$x_{n}$	計
$P$	$p_{1}$	$p_{2}$	$\cdots$	$p_{n}$	$1$

このとき、

$x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\cdots +x_{n}p_{n}$

を確率変数Xの平均または期待値といい、$E(X)$で表す。

確率変数の平均

$E(X)=\sum _{k=1}^{n}x_{k}p_{k}$

確率分布が上の表（確率分布の表）で与えられている確率変数Xの平均

$x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\cdots +x_{n}p_{n}$

をmとする。このとき、$(x-m)^{2}$ は1つの確率変数となり、その確率分布は下の表のようになる。

$\left(X-m\right)^{2}$	$\left(x_{1}-m\right)^{2}$	$\left(x_{2}-m\right)^{2}$	$\cdots$	$\left(x_{n}-m\right)^{2}$	計
$P$	$p_{1}$	$p_{2}$	$\cdots$	$p_{n}$	$1$

$(x-m)^{2}$がとるn個の値

$\left(x_{1}-m\right)^{2},\left(x_{2}-m\right)^{2},\cdots ,\left(x_{n}-m\right)^{2}$

のそれぞれは、Xとmとのへだたりの程度を表す。

確率変数$\left(X-m\right)^{2}$の平均

$\left(x_{1}-m\right)^{2}p_{1}+\left(x_{2}-m\right)^{2}p_{2}+\cdots +\left(x_{n}-m\right)^{2}p_{n}$

を、確率変数の分散といい、$V(X)$で表す。
また、${\sqrt {V(X)}}$をXの標準偏差といい、$\sigma (X)$で表す。

確率変数の分散と標準偏差

$V(X)=\sum _{k=1}^{n}\left(x_{k}-m\right)^{2}p_{k}$ $\sigma (X)={\sqrt {V(X)}}$

分散$V(X)$を表す式は次のように変形できる。

$V(X)=\sum _{k=1}^{n}\left(x_{k}-m\right)^{2}p_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left(x_{k}\right)^{2}p_{k}-2m\sum _{k=1}^{n}x_{k}p_{k}+m^{2}\sum _{k=1}^{n}p_{k}$

ここで、$\sum _{k=1}^{n}x_{k}p_{k}=m,\sum _{k=1}^{n}p_{k}=1$ であるから

$V(X)=\sum _{k=1}^{n}\left(x_{k}\right)^{2}p_{k}-2m\times m+m^{2}\times 1=\sum _{k=1}^{n}\left(x_{k}\right)^{2}p_{k}-m^{2}$

さらに、$\sum _{k=1}^{n}\left(x_{k}\right)^{2}p_{k}=E\left(X^{2}\right)$ であるから、次の等式が成り立つ。

確率変数の分散

$V(X)=E\left(X^{2}\right)-\left\{E(X)\right\}^{2}\quad$

• 問題例

• • 問題

1個のさいころを投げるとき、出る目の数をXとする。確率変数Xの平均、分散、標準偏差を求めよ。

• • 解答

Xの確率分布は、下の表で与えられる。

$X$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	計
$P$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{6}}$	$1$

Xの平均は

$E(X)=1\times {\frac {1}{6}}+2\times {\frac {1}{6}}+3\times {\frac {1}{6}}+4\times {\frac {1}{6}}+5\times {\frac {1}{6}}+6\times {\frac {1}{6}}={\frac {7}{2}}$

また、$X^{2}$の平均は

$E\left(X^{2}\right)=1^{2}\times {\frac {1}{6}}+2^{2}\times {\frac {1}{6}}+3^{2}\times {\frac {1}{6}}+4^{2}\times {\frac {1}{6}}+5^{2}\times {\frac {1}{6}}+6^{2}\times {\frac {1}{6}}={\frac {91}{6}}$

よってXの分散は

$V(X)=E\left(X^{2}\right)-\left\{E(X)\right\}^{2}={\frac {91}{6}}-\left({\frac {7}{2}}\right)^{2}={\frac {35}{12}}$

Xの標準偏差は

$\sigma (X)={\sqrt {\frac {35}{12}}}={\frac {\sqrt {105}}{6}}$

確率変数の変換

確率変数Xの確率分布が次の表で与えられているとする。

$X$	$x_{1}$	$x_{2}$	$\cdots$	$x_{n}$	計
$P$	$p_{1}$	$p_{2}$	$\cdots$	$p_{n}$	$1$

a,bが定数のとき、Xの1次式$Y=aX+b$でYを定めると、Yも確率変数になる。Yのとる値は$y_{k}=ax_{k}+b$であり、Yの確率分布は次の表のようになる。

$Y$	$y_{1}$	$y_{2}$	$\cdots$	$y_{n}$	計
$P$	$p_{1}$	$p_{2}$	$\cdots$	$p_{n}$	$1$

Xに対して上のようなYを考えることを、確率変数の変換という。

確率変数の変換$Y=aX+b$によって、その平均、分散、標準偏差がどのように変わるだろうか。
Yの期待値については

$E(Y)=\sum _{k=1}^{n}y_{k}p_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left(ax_{k}+b\right)p_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left(ax_{k}p_{k}+bp_{k}\right)=a\sum _{k=1}^{n}x_{k}p_{k}+b\sum _{k=1}^{n}p_{k}=aE(X)+b$

また、Yの分散については

$y_{k}-E(Y)=ax_{k}+b-\left\{aE(X)+b\right\}=a\left\{x_{k}-E(X)\right\}$

であるから

$V(Y)=\sum _{k=1}^{n}\left\{y_{k}-E(Y)\right\}^{2}p_{k}=a^{2}\sum _{k=1}^{n}\left\{x_{k}-E(x)\right\}^{2}p_{k}=a^{2}V(X)$

Yの標準偏差は

$\sigma (Y)={\sqrt {V(Y)}}=|a|{\sqrt {V(X)}}=|a|\sigma (X)$

確率変数の変換

確率変数Xと定数a,bに対して、$Y=aX+b$とすると、Yも確率変数となり $E(Y)=aE(X)+b$ $V(Y)=a^{2}V(X)$ $\sigma (Y)=|a|\sigma (X)$

• 問題例

• • 問題

1個のさいころを投げるとき、出る目の数をXとする。確率変数$Y=2X+3$の平均、分散、標準偏差を求めよ。

• • 解答

上の問題より、

$E(X)={\frac {7}{2}},V(X)={\frac {35}{12}},\sigma (X)={\frac {\sqrt {105}}{6}}$

Yの平均は

$E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=2\times {\frac {7}{2}}+3=10$

Yの分散は

$V(Y)=V(2X+3)=2^{2}V(X)=4\times {\frac {35}{12}}={\frac {35}{3}}$

Yの標準偏差は

$\sigma (Y)=\sigma (2X+3)=|2|\sigma (X)=2\times {\frac {\sqrt {105}}{6}}={\frac {\sqrt {105}}{3}}$

確率変数の和と積

A,B2人がそれぞれ1個のさいころを投げる。Aは、さいころの目が3の倍数ならば0、3の倍数でなければ1と記録する。Bは、さいころの目が1ならば1、偶数の目ならば2、1以外の奇数の目ならば3と記録する。
A,Bの記録する数をそれぞれX,Yとすると、XとYは確率変数で、$X=a$かつ$Y=b$となる確率は次のようになる。

$X/Y$	1	2	3	$P$
$0$	${\frac {1}{18}}$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{9}}$	${\frac {1}{3}}$
$1$	${\frac {1}{9}}$	${\frac {1}{3}}$	${\frac {2}{9}}$	${\frac {2}{3}}$
$P$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{3}}$

このとき、$Z=X+Y$も確率変数で、Zの確率分布は次のようになる。

$Z$	$1$	$2$	$3$	$4$	計
$P$	${\frac {1}{18}}$	${\frac {5}{18}}$	${\frac {4}{9}}$	${\frac {2}{9}}$	$1$

よって、Zの平均は

$E(Z)=1\times {\frac {1}{18}}+2\times {\frac {5}{18}}+3\times {\frac {4}{9}}+4\times {\frac {2}{9}}={\frac {17}{6}}$

一方

$E(X)=0\times {\frac {1}{3}}+1\times {\frac {2}{3}}={\frac {2}{3}}$

$E(Y)=1\times {\frac {1}{6}}+2\times {\frac {1}{2}}+3\times {\frac {1}{3}}={\frac {13}{6}}$

であるから

$E(X)+E(Y)={\frac {2}{3}}+{\frac {13}{6}}={\frac {17}{6}}$

したがって、$E(Z)=E(X)+E(Y)$が成り立っている。

確率変数の和の平均

確率変数X,Yについて $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$

確率変数Xのとる任意の値aと確率変数Yのとる任意の値bについて、$X=a$かつ$Y=b$である確率が$P(X=a)P(Y=b)$に等しいとき、確率変数XとYは互いに独立であるという。
上の例において確率変数XとYは互いに独立である。この確率変数X,Yについて、$U=XY$を考えると、Uも確率変数で、Uの確率分布は次のようになる。

$U$	$0$	$1$	$2$	$3$	計
$P$	${\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{9}}$	${\frac {1}{3}}$	${\frac {2}{9}}$	$1$

よって、Uの平均は

$E(U)=0\times {\frac {1}{3}}+1\times {\frac {1}{9}}+2\times {\frac {1}{3}}+3\times {\frac {2}{9}}={\frac {13}{9}}$

一方、$E(X)={\frac {2}{3}},E(Y)={\frac {13}{6}}$であるから

$E(X)E(Y)={\frac {2}{3}}\times {\frac {13}{6}}={\frac {13}{9}}$

したがって、$E(U)=E(X)E(Y)$が成り立っている。

独立な確率変数の積の平均

確率変数XとYが互いに独立ならば $E(XY)=E(X)E(Y)$

2つの確率変数X,Yの和の分散についても、次のことが成り立つ。

独立な確率変数の和の分散

確率変数XとYが互いに独立ならば $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$

• 問題例

• • 問題

大小2個のさいころを同時に投げるとき、それぞれのさいころの出る目をX,Yとする。出る目の和$X+Y$の平均、出る目の積$XY$の平均、出る目の和$X+Y$の分散を求めよ。

• • 解答

XとYは互いに独立である。今までの例より

$E(X)={\frac {7}{2}},E(Y)={\frac {7}{2}},V(X)={\frac {35}{12}},V(Y)={\frac {35}{12}}$

したがって

$E(X+Y)=E(X)+E(Y)={\frac {7}{2}}+{\frac {7}{2}}=7$

$E(XY)=E(X)E(Y)={\frac {7}{2}}\times {\frac {7}{2}}={\frac {49}{4}}$

$V(X+Y)=V(X)+V(Y)={\frac {35}{12}}+{\frac {35}{12}}={\frac {35}{6}}$

二項分布

1個のさいころを3回投げるとき、1の目の出る回数をXとすると

$P(X=r)=_{3}C_{r}\left({\frac {1}{6}}\right)^{r}\left({\frac {5}{6}}\right)^{3-r}$

である。確率変数Xの確率分布は次のようになる。

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$	計
$P$	$_{3}C_{0}\left({\frac {1}{6}}\right)^{0}\left({\frac {5}{6}}\right)^{3}$	$_{3}C_{1}\left({\frac {1}{6}}\right)^{1}\left({\frac {5}{6}}\right)^{2}$	$_{3}C_{2}\left({\frac {1}{6}}\right)^{2}\left({\frac {5}{6}}\right)^{1}$	$_{3}C_{3}\left({\frac {1}{6}}\right)^{3}\left({\frac {5}{6}}\right)^{0}$	$1$

一般に、1回の試行で事象Aの起こる確率がpであるとき、この試行をn回行う反復試行において、Aの起こる回数をXとすると、確率変数Xの確率分布は次のようになる。ただし、$q=1-p$である。

$X$	$0$	$1$	$\cdots$	$r$	$\cdots$	$n$	計
$P$	$_{n}C_{0}\ q^{n}$	$_{n}C_{1}\ p\ q^{n-1}$	$\cdots$	$_{n}C_{r}\ p^{r}q^{n-r}$	$\cdots$	$_{n}C_{n}\ p^{n}$	$1$

この表の確率は、二項定理の展開式

$(q+p)^{n}=_{n}C_{0}\ q^{n}+_{n}C_{1}\ p\ q^{n-1}+\cdots +_{n}C_{r}\ p^{r}q^{n-r}+\cdots +_{n}C_{n}\ p^{n}$

の右辺の各項を順に並べたものである。この確率分布を二項分布といい、$B(n\ ,\ p)$で表す。ただし、$0<p<1\ ,\ q=1-p$とする。
上の例は、$B\left(3\ ,\ {\frac {1}{6}}\right)$である。

• 例

1枚の硬貨を6回投げるとき、表が出る回数をXとすると、Xは二項分布$B\left(6\ ,\ {\frac {1}{2}}\right)$に従う。

二項分布の平均・分散・標準偏差

二項分布$B(3\ ,\ p)$に従う確率変数Xの平均・分散・標準偏差を求めよう。ただし、$q=1-p$とする。
Xの平均は

${\begin{aligned}E(X)&=0\times _{3}C_{0}\ q^{3}+1\times _{3}C_{1}\ p\ q^{2}+2\times _{3}C_{2}\ p^{2}\ q+3\times _{3}C_{3}\ p^{3}\\&=3p^{3}+6p^{2}q+3pq^{2}=3p(p^{2}+2pq+q^{2})\\&=3p(p+q)^{2}=3p\times 1=3p\\\end{aligned}}$

また、$X^{2}$の平均は

${\begin{aligned}E\left(X^{2}\right)&=0^{2}\times _{3}C_{0}\ q^{3}+1^{2}\times _{3}C_{1}\ p\ q^{2}+2^{2}\times _{3}C_{\ }p^{2}\ q+3^{2}\times _{3}C_{3}\ p^{3}\\&=9p^{3}+12p^{2}q+3pq^{2}=3p(3p^{2}+4pq+q^{2})\\&=3p(p+q)(3p+q)=3p\times 1\times (3p+q)=3p(3p+q)\\\end{aligned}}$

よって、Xの分散は

${\begin{aligned}V(X)&=E\left(X^{2}\right)-\left\{E(X)\right\}^{2}\quad \\&=3p(3p+q)-(3p)^{2}\\&=3pq\\\end{aligned}}$

Xの標準偏差は

$\sigma (X)={\sqrt {V(X)}}={\sqrt {3pq}}$

一般に、二項分布に従う確率変数について、次のことが成り立つ。

二項分布の平均・分散・標準偏差

確率変数Xが二項分布$B(n\ ,\ p)$に従うとき、$q=1-p$とすると $E(X)=np\ ,\ V(X)=npq\ ,\ \sigma (X)={\sqrt {npq}}$

• 問題例

• • 問題

白玉7個と黒玉3個が入っている袋から、もとに戻しながら、玉を100回取り出す。白玉の出る回数Xの平均、分散、標準偏差を求めよ。

• • 解答

Xは二項分布$B\left(100\ ,\ {\frac {7}{10}}\right)$に従う。
Xの平均は

$E(X)=np=100\times {\frac {7}{10}}=70$

Xの分散は

$V(X)=npq=100\times {\frac {7}{10}}\times {\frac {3}{10}}=21$

Xの標準偏差は

$\sigma (X)={\sqrt {npq}}={\sqrt {21}}$