高等学校数学C > 確率分布


確率分布編集

確率の計算編集

条件つき確率編集

1から15までの番号札があり、その15枚の札から任意に1枚を選ぶ。 このとき、2の倍数を選ぶという事象をA、3の倍数を選ぶという事象をBとすると、
 ,  ,   となる。

このとき、選び出された札が2の倍数であるとわかったとして、それが3の倍数である確率 を考える。  は、2の倍数である札7枚の中から、6の倍数である札2枚を選ぶ確率であるから
 
事象Aが起こったとして、そのときに事象Bの起こる確率を、Aが起こったときのBの条件つき確率といい、 で表す。

 
この式の右辺の分母、分子をそれぞれ で割ると
 


  • 問題例
    • 問題

ある観光バスの乗客のうち、60%が女性で、42%が50歳以上の女性である。女性の中から任意に1人を選び出したとき、その人が50歳以上である確率を求めよ。

    • 解答

「女性である」事象をA、「50歳以上である」事象をBとする。
 
よって、求める確率は

 


 の分母を払うと、次のようになる。

乗法定理

 のとき

 


  • 問題例
    • 問題

5本のくじの中に3本の当たりくじがある。a、b2人が、引いたくじをもとに戻さないで、a、bの順に1本ずつくじを引くとき、2人とも当たる確率を求めよ。

    • 解答

aが当たるという事象をA、bが当たるという事象をBとすると、求める確率は である。
aが当たったとき、残り4本のくじの中に当たりくじが2本あるから

 

よって、2人とも当たる確率は

 

事象の独立・従属編集

1個のさいころを投げるとき、偶数の目が出る事象をA、3の倍数の目が出る事象をB、4以上の目が出る事象をCとすると、

A={2,4,6} , B={3,6} , C={4,5,6}

このとき  ,  より、 が成り立つ。つまり、事象Aが起こることは事象Bが起こることに影響を与えていない。
また、  ,  より、 が成り立つ。つまり、事象Aが起こることは事象Cが起こることに影響を与えている。

2つの事象A , Bについて、事象Aの起こることが事象Bの起こることに影響を与えないとき、AとBは独立であるという。また、AとBが独立でないとき、AとBは従属であるという。

事象AとBが独立であるとき、 である。乗法定理を用いると、事象の独立について、次のことが成り立つ。

事象の独立
事象AとBが独立である 
  • 問題例
    • 問題

トランプのハートのカードが1組13枚ある。
(1)初めにAが1枚引き、そのカードをもとに戻さないで、次にBが1枚引く場合、A、Bがともに絵札を引く確率を求めよ。
(2)初めにAが1枚引き、そのカードをもとに戻して、次にBが1枚引く場合、A、Bがともに絵札を引く確率を求めよ。

    • 解答

Aが絵札を引くという事象をA、Bが絵札を引くという事象をBとする。
(1) AとBがともに絵札を引くという事象は   で表される。
  Aが絵札を引く確率は   
  Aが絵札を引いたあと、12枚のカードの中に絵札が2枚残っているから、Bが絵札を引く確率 は、   
  よって   
(2) Aが引いたカードは、もとに戻すから、2つの事象A、Bは互いに独立である。
  したがって確率は   


確率分布編集

確率変数と確率分布編集

1枚の硬貨を2回続けて投げる試行において、表の出る回数をXで表す。Xのとりうる値は、0 , 1 , 2 である。 それぞれが起こる確率は
 となる確率は   
 となる確率は   
 となる確率は   

この結果を表にすると、次のようになる。

 012
確率   
 


一般に、Xが有限個の値   をとる変数で、  となる確率   が与えられて、

 

を満たすとき、Xを確率変数という。
このとき   の対応は下の表のようになる。

      
      
 

この対応関係をXの確率分布という。  となる確率を   と書く。

確率変数の平均・分散・標準偏差編集

確率変数Xの確率分布が次の表で与えられているとする。

確率分布の表
       
      
 

このとき、

 

を確率変数Xの平均または期待値といい、 で表す。

確率変数の平均
 

確率分布が上の表(確率分布の表)で与えられている確率変数Xの平均

 

をmとする。このとき、  は1つの確率変数となり、その確率分布は下の表のようになる。

      
 
 
 
 
 
 

 がとるn個の値

 

のそれぞれは、Xとmとのへだたりの程度を表す。

確率変数 の平均

 

を、確率変数の分散といい、 で表す。
また、 をXの標準偏差といい、 で表す。

確率変数の分散と標準偏差
 
 


分散 を表す式は次のように変形できる。

 

ここで、  であるから

 

さらに、  であるから、次の等式が成り立つ。

確率変数の分散
 


  • 問題例
    • 問題

1個のさいころを投げるとき、出る目の数をXとする。確率変数Xの平均、分散、標準偏差を求めよ。

    • 解答

Xの確率分布は、下の表で与えられる。

             
             
 

Xの平均は

 

また、 の平均は

 

よってXの分散は

 

Xの標準偏差は

 

確率変数の変換編集

確率変数Xの確率分布が次の表で与えられているとする。

       
      
 

a,bが定数のとき、Xの1次式 でYを定めると、Yも確率変数になる。Yのとる値は であり、Yの確率分布は次の表のようになる。

       
       
 

Xに対して上のようなYを考えることを、確率変数の変換という。


確率変数の変換 によって、その平均、分散、標準偏差がどのように変わるだろうか。
Yの期待値については

 

また、Yの分散については

 

であるから

 

Yの標準偏差は

 
確率変数の変換

確率変数Xと定数a,bに対して、 とすると、Yも確率変数となり

 
 
 


  • 問題例
    • 問題

1個のさいころを投げるとき、出る目の数をXとする。確率変数 の平均、分散、標準偏差を求めよ。

    • 解答

上の問題より、

 

Yの平均は

 

Yの分散は

 

Yの標準偏差は

 

確率変数の和と積編集

A,B2人がそれぞれ1個のさいころを投げる。Aは、さいころの目が3の倍数ならば0、3の倍数でなければ1と記録する。Bは、さいころの目が1ならば1、偶数の目ならば2、1以外の奇数の目ならば3と記録する。
A,Bの記録する数をそれぞれX,Yとすると、XとYは確率変数で、 かつ となる確率は次のようになる。

 123 
    
 
 
 
  
 
 
 
   

このとき、 も確率変数で、Zの確率分布は次のようになる。

     
     
 

よって、Zの平均は

 

一方

 
 

であるから

 

したがって、 が成り立っている。

確率変数の和の平均

確率変数X,Yについて

 


確率変数Xのとる任意の値aと確率変数Yのとる任意の値bについて、 かつ である確率が に等しいとき、確率変数XとYは互いに独立であるという。
上の例において確率変数XとYは互いに独立である。この確率変数X,Yについて、 を考えると、Uも確率変数で、Uの確率分布は次のようになる。

     
     
 

よって、Uの平均は

 

一方、 であるから

 

したがって、 が成り立っている。

独立な確率変数の積の平均

確率変数XとYが互いに独立ならば

 


2つの確率変数X,Yの和の分散についても、次のことが成り立つ。

独立な確率変数の和の分散

確率変数XとYが互いに独立ならば

 


  • 問題例
    • 問題

大小2個のさいころを同時に投げるとき、それぞれのさいころの出る目をX,Yとする。出る目の和 の平均、出る目の積 の平均、出る目の和 の分散を求めよ。

    • 解答

XとYは互いに独立である。今までの例より

 

したがって

 
 
 

二項分布編集

1個のさいころを3回投げるとき、1の目の出る回数をXとすると

 

である。確率変数Xの確率分布は次のようになる。

     
     
 


一般に、1回の試行で事象Aの起こる確率がpであるとき、この試行をn回行う反復試行において、Aの起こる回数をXとすると、確率変数Xの確率分布は次のようになる。ただし、 である。

        
          
 

この表の確率は、二項定理の展開式

 

の右辺の各項を順に並べたものである。この確率分布を二項分布といい、 で表す。ただし、 とする。
上の例は、 である。

1枚の硬貨を6回投げるとき、表が出る回数をXとすると、Xは二項分布 に従う。

二項分布の平均・分散・標準偏差編集

二項分布 に従う確率変数Xの平均・分散・標準偏差を求めよう。ただし、 とする。
Xの平均は

 

また、 の平均は

 

よって、Xの分散は

 

Xの標準偏差は

 


一般に、二項分布に従う確率変数について、次のことが成り立つ。

二項分布の平均・分散・標準偏差

確率変数Xが二項分布 に従うとき、 とすると

 


  • 問題例
    • 問題

白玉7個と黒玉3個が入っている袋から、もとに戻しながら、玉を100回取り出す。白玉の出る回数Xの平均、分散、標準偏差を求めよ。

    • 解答

Xは二項分布 に従う。
Xの平均は

 

Xの分散は

 

Xの標準偏差は