この項は高等学校数学III 極限の演習問題Aである。
問題 編集
問1 編集
第 項が次の式で表される数列の極限を調べよ。また極限値が存在するならば求めよ。
(1) .
(2) .
(3) .
問2 編集
のとき、次を証明せよ。
- .
問3 編集
の収束・発散について調べよ。極限値が存在する場合はこれを求めよ。ただし、 は定数とする。
解答 編集
問1 編集
(1) .
よって、 .
(1)(別解) .
よって、 .
(2) .
よって、 .
(2)(別解) .
よって、 .
(3) .
よって、 が偶数のとき 、 が奇数のとき なので、収束しない。(振動する)
(3)(別解) .
よって、 が偶数のとき 、 が奇数のとき なので、収束しない。(振動する)
問2 編集
は明らか。
なので、 を用いて と表せる。 のとき、 なので、
である。したがって、はさみうちの原理より
問3 編集
は明らか。
は定数なので、 なる自然数 が取れる。 のとき、
である。したがって、はさみうちの原理より