高等学校数学II 加法定理の幾何的導出

左図のように、∠ABC及び∠ACDが直角でありACを共有する直角三角形ΔABC及びΔACDを想定し、∠BAC=α、∠CAD=βとする。なお、α+β＜π/2としておく（拡張は可能であるが、視覚的理解のため条件を限定しておく）。さらに、AD=1としておいても、一般性を失わない。

Dから直線BCに垂直におろした線との交点をE、直線ABに垂直におろした線との交点をFとする。

このとき、α + β の三角関数を評価するのは、直角三角形ΔAFDにおいて、

sin(α+β) = DF / AD 及び　cos(α+β) = AF / AD 　を評価すればよい。

さらに、AD=1としているので、DF と　AF　を求めることに帰結される。

【解法】

AC = cosβ

AB = AC・cosα = cosα・cosβ

BC = AC・sinα = sinα・cosβ

CD = sinβ

ここで、∠DCE=α であるため、

CE = CD・cosα = cosα・sinβ

BE = BC + CE = sinα・cosβ + cosα・sinβ = DF

DE = CD・sinα = sinα・sinβ

AF = AB - FB(=DE) = cosα・cosβ - sinα・sinβ

以上より

DF = sin(α+β) = sinα・cosβ + cosα・sinβ

AF = cos(α+β) = cosα・cosβ - sinα・sinβ