ここでは三角関数の定義をしたあと、三角関数の基本的な性質、加法定理、三角関数の応用について学ぶ。三角関数は波やベクトルの内積、フーリエ変換などさまざまな分野で応用されている。

一般角編集

右図のように、定点Oを中心として回転する半直線 OP を考える。このときの回転する半直線 OP のことを動径という。

半直線 OX を角度の基準とする。この基準となる半直線 OX のことを始線という。

動径が時計回りに回転した場合、回転した角度は負であるとし、動径が反時計回りをした場合、回転した角度は正であるとする。

負の角度や360°以上回転する角度も考えに入れた角のことを一般角という。


弧度法編集

ラジアン編集

いままでは角度の単位として一周を 360° とする度数法を使ってきたことだろう。ここで、弧度法による角度の表し方を学ぶ。

半径1 の扇形において弧の長さが 1 のときの中心角を 1 rad、同様に弧の長さがθのときの中心角をθ radと定義する。この定義より 180° =π rad、360° = 2π rad 、さらに

 

となる。また弧度法の単位(rad)はしばしば省略される。

弧度法を用いると、三角関数の微積分を考える際に便利である。(このことは数学IIIで学ぶ)

扇形の弧の長さと面積編集

扇形の半径をr 、弧度法で定義された角度をθとするとき、弧の長さl と面積S

 

と表せる。

三角関数編集

sin と cos のグラフ編集

一般角が   の半直線と単位円が交わる円を   とする。このときの   の座標を  とすることで、関数   を定める。また、  とすることで関数   を定める。  は一般角が   の動径の傾きに等しい。

  •   はサイン(sine) と発音され、正弦とも呼ばれる。
  •   コサイン(cosine) と発音され、余弦とも呼ばれる。
  •   はタンジェント(tangent) と発音され、正接とも呼ばれる。

また、三角関数の累乗は   と表記される。


cos θ のグラフは sin θ のグラフを θ軸方向に  だけ平行移動したものである。

   の形をした曲線のことを 正弦曲線 (せいげんきょくせん)という。

関数   の値域はどちらも、  である。

tan のグラフ編集

右図のように 、角 θ の動径と単位円との交点をPとして、 直線OPと 直線x=1 との交点を T とすると、 Tの座標は

T (1, tan θ)

になる。

このことを利用して、 y=tan θ のグラフをかくことができる。


y=tan θ のグラフは、下図のようになる。
 

y=tan θ のグラフでは、θの値が   に近づいていくと、 直線   に限りなく近づいていく。

このように、曲線がある直線に限り無く近づいていくとき、近づかれる直線のほうを 漸近線 (ぜんきんせん)という。

同様に考え、次の直線も y=tanθ の漸近線である。

 

は y=tanθ の漸近線である。


一般に、

直線     (nは整数)

はy=tanθのグラフの漸近線である。[1]

三角関数の性質編集

一般角が   の動径は一回転しても等しいので、一般角が   の動径と等しい。これより三角関数の周期性

 

を得る。


   回転した点   は原点を中心に点対称移動した点   であることから

 

を得る。

   軸で線対称移動移動した点が   であることから

 

を得る。

  • 問題例
    • 問題
  • :: 
    を計算せよ。
    • 解答
    角θに対応する点を P(x, y) とする。このとき、角 θ + 90°に対応する点を P'(x', y') とすると、この点の座標は、P'(-y, x) に対応する。このことから、P'について sin, cos を計算すると、
     
    が得られる。
    同様にして、90°- θ に対応する点を P' '(x' ', y' ') とすると、
     
    となる。よって、
     
    が得られる。

単位円周上の点   から原点までの距離は 1 なので、   が成り立つ。

また、この式に、   つまり、   を代入すれば、  が成り立つことがわかる。

周期関数編集

関数   に対して、0 でない実数   が存在して、  となるとき関数   は周期関数という。実数   が上の性質を満たすとき、  など、実数   を0を除く整数倍した数も上の性質を満たす。そこで、周期関数を特徴づける量として、上の性質を満たす実数   の内、正でかつ最小のものを選び、これを周期と呼ぶ。

  は周期を   とする周期関数であり、  は周期を   とする周期関数である。


演習問題

  を0でない実数とする。関数   の周期を言え

解答

  なので答えは   。これは正であり、周期の最小性の条件を満たしている。

偶関数と奇関数編集

関数    を満たすとき、関数   は偶関数という。偶関数は   軸に関して対称なグラフになる。

また、関数    を満たすとき、関数   は奇関数という。偶関数は原点に関して対象なグラフになる。

関数   (  は整数)は偶関数となる。

関数   (  は整数)は奇関数となる。

演習問題

  は偶関数かそれとも奇関数か調べよ。

解答

 

なので、   は奇関数である。[2]

いろいろな三角関数編集

関数   のグラフは、 のグラフを θ軸方向に   だけ平行移動させたものになり、周期は   である。(平行移動しても、周期は変わらず、sinθと同じく周期は   のままである。)


関数 y=2sin θ のグラフの形は y=sin θ をy軸方向に2倍に拡大したもので、周期は y=sin θ と同じく 2π である。

ー1 ≦ sin θ ≦ 1  なので、

値域は  ー2 ≦ 2sin θ ≦ 2  である。


関数 y=sin2θ のグラフはy軸を基準にθ軸方向に   倍に縮小したものになっている。

したがって、周期も   倍になっており、y=sinθ の周期は   だから、y=sin2θ の周期は   である。

加法定理編集

三角関数の加法定理

 

が成り立つ。

証明

任意の実数   に対し、単位円周上の点   をとる。このとき、 線分   の長さの2乗   は余弦定理を使うことにより

 

である。次に三平方の定理を使って

 

これを整理して

 

を得る。

 

である。

以上をまとめて

 

を得る。

ここで、

 [3]

さらに、  についても

 

が成り立つ。

倍角の公式編集

加法定理を用いて以下が証明できる。

 

 

 


次に、   の倍角の公式を変形すると

 

 

である。


演習問題

  1.   を求めよ
  2.   を示せ

解答

 

 


 

今までの定理をまとめると、次のようになる。

三角関数の加法定理
 
2倍角の公式
 
三角関数の2乗
 

覚え方

加法定理は「咲いたコスモスコスモス咲いた」、「コスモスコスモス咲いた咲いた」という語呂合せがあります。

  の倍角の公式    という形を覚えて   は符号が  、1 の符号はその逆と覚えます。

2乗の三角関数   は、  という形を覚えて、   は符号が  と考えます。

三角関数の合成編集

三角関数の和

 

において、  のとき

  であるので、点   は単位円周上の点なので、

 

となるようなαをとることができ、このαを用いて次のような変形ができる。

 

演習問題

   を満たすとする。

  1.    の形に変形せよ。
  2.    の形に変形せよ。

解答

  1.   より

 

  1.   [4]ここで、  である。   となる   として   がある。[5]したがって、 

和から積への公式と積から和への公式編集

三角関数の加法定理を用いると、三角関数の和→積の公式、および積→和の公式が得られる。それぞれ

積→和の公式
 
和→積の公式
 

となる。

導出

加法定理

 
(1)
 
(2)
 
(3)
 
(4)

から、 (1) + (2) より

 


(1) - (2) より

 


(3) + (4) より

 

(3) - (4) より

 

が得られる。

  とおくと、   である。これを積→和の公式に代入すれば、それぞれ

 

が得られる。

覚え方

積→和の公式は、上2つは    を入れ替えれば同じ式なので、覚えるのは3式でいい。  の公式は   の公式の符号を2つ   にしたものになっている。

和→積の公式は、  の式は   の公式の    を逆にした形になっている。

三角関数の基本公式編集

  • 周期性(n は整数)
 
  • 偶関数、奇関数
 
  •  
 
  •  
 
  •  
 
  •  
 
  • 問題例
    • 問題
    (i)  
    (ii)  
    (iii)  
    の値を求めよ。
    • 解答
    (i)
     
    (ii)
     
    (iii)
     


楽器の音と三角関数
音も波の一種なので、三角関数で表現できる。

オシロスコープで おんさ の音を測定すると、正弦波に近い波形が観測される。

しかし、実際の楽器の音は、正弦波とは違う。オシロスコープでギターやバイオリンなどの楽器の音を測定すると、正弦波でない波形が繰り返されている。

これら実際の楽器の音の波形は、周期の異なる複数個の正弦波を重ね合わせた波形になっている。

大学などで習うフーリエ解析で、このような正弦波でない波形の解析について詳しく習う。三角関数以外の周期的な関数を、三角関数を介して表現する手法が知られている。


数学者レオンハルト・オイラー
 
レオンハルト・オイラー(Leonhard Euler 1707年4月15日 - 1783年9月18日)

ここでは、指数関数、三角関数の定義域を実数としていたが、これらの関数の定義域を複素数まで拡張することができる。(興味のある意欲的な読者は複素関数論の書籍を読んでみるといい) 複素数に拡張した指数関数、三角関数では   という関係式が成り立つ。ただし、  はネイピア数で   である。ここで、    を代入すると  となる。この等式は「世界一美しい等式」とも呼ばれ、小説にもなっているので知っている人もいるだろう。


演習問題編集

(1)下の度数法で表された値を弧度法て表せ

1)  2) 

(2) の値を求めよ

脚注編集

  1. ^ 高校・大学入試では使われないが、  として定義される三角関数を使うところもある。これらの関数はそれぞれ、セカント、コセカント、コタンジェントと呼ばれる。
  2. ^ 一般に、関数   に対し、  が偶関数か奇関数か調べるには    または   のどちらに等しいか調べればよい。また、どちらとも等しくない場合、関数   は偶関数でも奇関数でもない。
  3. ^ 「咲いた(sin)コスモス(cos)コスモス(cos)咲いた(sin)」「コスモス(cos)コスモス(cos)咲いた(sin)咲いた(sin)」という覚えかたがある
  4. ^ こう変形することで、点   が単位円周上の点になる
  5. ^ ここで、   は問題文の制約を満たすように選ぶ。    の整数倍を足した   を選んでも三角関数の合成はできるが、実用的にも   は簡単なものを選んだ方がいいだろう。
ウィキバーシティ三角関数の学習教材があります。