中学数学1年 文字と式

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文字を使った式編集

文字を使った式編集

数学では、小学校までの算数と違って、数字の代わりとして、文字を置くことがある。 まず、小学校のように文字を使わない場合を述べる。

例えば、式を書いているとき、

 

のように、全ての数が分かれば文字を使わなくても問題はない。


しかし、

太郎君も花子さんも、それぞれ(あめ)を持っていて、二人の飴の数とを合わせると5個になりました。


というような場合を考えると、数字では表すことのできない数が出てくる。このような時、小学校では式で表すことができなかった。


では、中学校の方法を説明する。


太郎君の持っていた飴の個数も、花子さんの持っていた飴もの個数もわからないけれども、ひとまず文字であらわすことで、合わせて5個になることを表すことができるようになる。 太郎君の持っていた飴の個数を  (エックス) 個、花子さんの持っていた飴の個数を  (ワイ) 個と表すことで、次のように式が書ける。

 

上のようにすれば、それぞれの持っている飴の数がわかっていなくても、合計は5個だということを、式を使って表すことができる。具体的な数字で書くことができない値を文字で表すことで、そのような値を持つ数を含む内容を、等式などを使った式で表すことを、式を立てるという。


また、この式中にある    のように、数字ではなく、文字で表した数のことを文字数(もじすう)という。


なお、数の値を表すのに使うアルファベットの文字は、英語の授業でならうアルファベットとは同じ書き方ではない場合があるので注意が必要だ。


コラム : 文字式の立て方のコツ

小学算数の式は、計算をして答えを出すために使うものでした。一方、中学数学では、式は答えを出すためだけでなく、数の値についてわかっている情報を記録したり、数の値の間の関係を表現したりするのにも使われる。答えを出すのにも、計算した結果が答えになる方法だけでなく、問題に与えられた情報を式に書き出し、その式をより簡単な形に書き直してゆくことで、答えに近づけていく、という方法が取られる場面が多くなります。


たとえ、値のわかっていない数を含んていても、式で表してやる必要があるため、文字数がひんぱんに使われます。具体的な数量を文字数で表すときは、式を立てる前に、必ず「どの文字で、どんな意味を表すことにするか」を明らかにしておく必要があります。必要があれば、単位も書き添えておくことが大切です。


このとき「文字   で、太郎の飴の数を表す」のような表現にすると、しばしば数の単位を忘れることがありますから、「太郎の飴の数を   個とする。」「飴の数を、太郎   個とおく。」のように、使う文字を文章に埋め込むスタイルをおすすめします。「とする」「とおく」「として」のどれかを使いましょう(省略してはいけません)。このように、使う文字数の意味を明らかにしておくことを「元の宣言」と呼ぶことがあります。


文字式とは、このような文字を含んだ式のことです。数字の代わりの文字には、「 」「   」「 」「 」といったアルファベットなどが使われます。「あ」や「(飴の数)」などの日本語の文字や「○」などの記号は、数式中の文字には使いません。



なぜ文字で置くのか編集

数を表すのに、数字で表記するのではなく、文字を使う場面には、いくつかの理由が考えられる。文字を使って表した数のことを文字数(もじすう)と呼び、文字数を含む式を文字式(もじしき)という。 中学数学では、文字数を使う場合が3つ、考えられる。 第一に、具体的な数の値がわかっていない場合がある。このような数をを未知数(みちすう)(英語:unknown アンノウン)という。 また一つの意味を持つ数が、いろいろな値を取ることができる。このような数を変数(へんすう)(英語:variable バリアブル)という。変数については関数(かんすう)のところで(くわ)しく解説する。 未知数や変数を表す文字を、(げん)と呼ぶ。2種類の元を含む文字式は、2元式と呼ばれる。 さらにもうひとつ、値がわかっていて、決まった数ではあるが、数字ではうまく表せないときに文字を使って表すことがある。このような数を文字定数(もじていすう)という。代表的なものは、円周率を であらわすことであるが(詳しくは後の節で説明する)、高校の物理や化学では、多くの「決まった数(定数)」を文字で表すことがある。

数の代わりに置く文字の種類
いずれにしても、「1つの決まった数字で表せない」という点で共通している。

文字の式の決まり編集

文字の式を書くときには決まりがある。

積のあらわし方の約束 1
  • 「×」の記号を省く。 例:  
  • 数と文字との積では、先に数を書く。 例:  

特別な事情がないかぎり、中学以降の数学では、これらの決まりに従う。


練習

つぎの式を、文字の積の書き方の決まりにしたがって書きましょう。

問題: 
(答え) 
 
問題: 
(答え) 
 
問題: 
(答え) 
 
問題: 
(答え) 
 
問題: 
(答え) 
 
問題: 
(答え) 

さらに、次のような決まりもある。

積のあらわし方の約束 2
  • 同じ文字の積は、指数(しすう)(英語:exponent イクスポーネント)を使う。 例:  
  • 1と文字との積は1を省く。また、-1と整数との積は1を省いて「-」のみ書く。 例:  ,  

練習

問題: 
(答え) 
 
問題: 
(答え) 
 
問題:  
(答え) 
 
問題: 
(答え) 
 
問題:  
(答え) 
 
問題:  
(答え)  または  
 
問題:  
(答え)  または  

さらにさらに、次のような決まりもある。

商のあらわし方の約束
  • 文字式の除法では、原則として分数を使う。ただし、帯分数は原則として用いない。除法に「÷」は原則として用いない。 例:  
練習

つぎの ÷ を使った式を、分数の形に直しなさい。

 
問題: 
(答え)  または  
 
問題: 
(答え) 

また、決まりというほどではないが、2つ以上の積の場合、次のような習慣がある。

2つ以上の文字の積について
  • 1つの項の中で未知数が2個以上ある場合には、文字はアルファベット順に書くのが、普通である。 例:  
    • 規則性がある場合は例外。例:   とはしない)

次のような決まりもある。

数をあらわす文字には、   などの図形は、中学入学以降は原則として使わない。
  • これらの記号は中学入学以降では   は四角形をあらわすときに使い、  は三角形の図形をあらわすときに用いるからである。中学以降で数をあらわす文字には a,b,c や A,B,C などのアルファベットを原則的に用いる。

練習

(※ 問題作成中)


まとめ
  1. 「×」の記号は省く(はぶく)。 例:  
  2. 数と文字との積では、先に数を書く。 例:  
  3. 同じ文字を2回以上かける時は、指数(しすう、exponent イクスポーネント)を使う。 例:  
  4. かけ算の1は省略する。 例:  ,  
  5. 除法では、原則として分数を使う。ただし、帯分数は原則として用いない。除法に「÷」は原則として用いない。 例:  
  6. 1つの項の中で未知数が2個以上ある場合には、文字はアルファベット順に書くのが、普通である。 例:  
  7. 数をあらわす文字には、   などの図形は、中学入学以降は原則として使わない。なぜなら、これらの記号は中学入学以降では   は四角形をあらわすときに使い、  は三角形の図形をあらわすときに用いるからである。中学以降で数をあらわす文字には a,b,c や A,B,C などのアルファベットを原則的に用いる。
なぜ「帯分数は原則として用いない」のか
  • 帯分数は、  のような形式をしており、これは   を意味する。
  • 文字式で、  は、  を意味する。

このように似かよった表現で意味が異なるので、文字式では帯分数を用いてはいけない。


文字をふくむ式の加法・乗法などの計算法則編集

この単元で使う用語や公式などを紹介する。

加法の交換法則(こうかんほうそく)
加法の計算では、項の順を入れ替えても値が変わらないという法則を、加法(かほう)の交換法則(こうかんほうそく、英:Commutative property コミュータティヴ・プロパティ)という。
例:  

これらの式のaやbに入る数は、正の数でも、負の数でも、加法の交換法則は成り立つ。簡単な数を代入してみて、確かめてみてください。


加法の結合法則(けつごうほうそく)
加法の計算では、項同士をどのように()でくくっても値が変わらないという法則を、加法の結合法則(けつごうほうそく、英:associative law アソシエイティブ・ロー)という。
例:  

これらの式のaやbやcに入る数は、正の数でも、負の数でも、加法の結合法則は成り立つ。簡単な数を代入してみて、確かめてみてください。


乗法の交換法則
乗法(かけ算)の式で、項の順を入れ替えても値が変わらないという法則を、乗法の交換法則という。
 

これらの式のaやbに入る数は、正の数でも、負の数でも、乗法の交換法則は成り立つ。簡単な数を代入してみて、確かめてみてください。

乗法の結合法則
乗法の式で、項同士をどのように()でくくっても値が変わらないという法則を、乗法の結合法則という。
 

これらの式のaやbやcに入る数は、正の数でも、負の数でも、乗法の結合法則は成り立つ。簡単な数を代入してみて、確かめてみてください。


※ 要するに、加法でも乗法でも、交換法則も結合法則も成り立つ。

分配法則(ぶんぱいほうそく)
次のように、aに b+c を掛けても、aをb、cにそれぞれ分配するように掛けてから2つを足しても値が変わらないという法則を、分配法則 (ぶんぱいほうそく、英:distributive property ディストゥリビュティヴ・プロパティ)という。
 

 

例:   (どちらも65)

文字の中身が正の数の場合なら、加法でも乗法でも交換法則・結合法則・分配法則がすべて成り立つことは、小学校で習っている。

理解がむずかしいのは、文字の中身がマイナスであっても、はたして本当に交換法則・結合法則・分配法則が成り立つと決めても問題が起きないのだろうか、という事である。

では、これから、文字の中身がマイナスであっても交換法則・結合法則・分配法則が成り立つと決めても、まったく問題の起きないことを、確かめよう。


そのために、まず、いくつか前の単元で教えた、マイナス掛けるマイナスはプラスであることの説明のための長方形の図を使うと、簡単に分かる。

前の単元でつかった図は再掲しておく。

 
(-1)×(-1)=(+1)の幾何学的な説明図。

参考にせよ。


 

とあるが、あらたに文字 E と 文字F を用意して、

 
 

とすれば、

例の長方形の面積は

 

と書ける。


このことから、まず、文字の中身がマイナスの場合であっても、この場合すらも、長方形の面積計算に対応させることができることがわかった。

ここまでくれば、あとはもう、長方形の面積計算の基本的な性質として、交換法則や結合法則や分配法則が成り立つことが、簡単に感じられるだろう。


例として、乗法の交換法則が成り立つことを確かめてみよう。

まず、長方形は、90度回転させてタテとヨコを入れ替えても、面積は同じである。なので交換法則は成り立つ。マイナスの数の掛け算も四角形で表せることが、さっきの図形の議論で分かってるので、よってマイナスの数でも交換法則は成り立つ。

同様に、乗法の分配法則や結合法則についても、例の図形の議論により文字の中身がマイナスの数の場合でも長方形の面積であらわせる事が分かっているので、よって、文字の中身がマイナスであっても分配法則や結合法則も成り立つ。


文字の累乗と逆数編集

累乗
※ 文字をふくまない数の累乗と逆数については、単元『中学校数学 1年生-数量/正の数・負の数』で説明した。本ページでは、文字の累乗と逆数を説明する。

  回 掛けた積を   と表し、「  (じょう)」と読む。

なお、このときの   にあたる数のことを指数(しすう)(英:exponent イクスポウネント)という。

2乗のことを平方(へいほう)(英:square スクウェア)とも言い、3乗のことを立方(りっぽう)(英:cube キューブ)ともいう。


逆数(ぎゃくすう)
  となるときの   に対する   のことを逆数(ぎゃくすう)という。かけて1になるということは、分母と分子がひっくり返れば約分されて1になるので、ある数の逆数を作るためには、分母と分子をひっくり返せばよい。

例えば

  の逆数は  

である。

  の逆数は  

である。

例: 負の数の逆数   の逆数は  である。

代入と式の値編集

例題
1個40円のみかんをx 個と50円のりんごを1個買ったとき、この代金を文字式で表すと 40x + 50 (円) となる。では、みかんを5個買ったときの代金はいくらになるだろうか?

この問題を解くためには、未知数であるx の代わりに5を入れて計算すればよい。

40x+50 = 40×5+50 = 200+50 = 250 答.250円

この問題で行ったように、式の中の文字を数でおきかえることを、文字にその数を代入(だいにゅう、英:substitution サブスティテューション)するという。また、文字式に具体的な数を代入して計算した結果を、そのときの式の値(値は「あたい」と読む。)という。

上の問題を今説明した言葉で言うと、x = 5 のとき、40x+50 の値は 250 であると言える。


活用

たとえば、次のような理科の計算をするとき、代入が活用できる。

問題 (1)
空気中を伝わる音の速さは、そのときの気温 t ℃ によって変わり、秒速 (331.5 + 0.6t) m の式であらわされることが分かっています(末尾の m は長さの単位のメートル記号)。
気温が 30 ℃のときの音の速さを求めなさい。
(解法と答え)

与えられた公式に実際に代入をする。

331.5 + 0.6 × 30 = 331.5 + 18 = 349.5

よって30℃のときの音の速さは秒速 349.5 m である。


問題 (2)
気温10度のときに、(かみなり)が光ってから2秒後に雷の音が聞こえました。音の速さは秒速 (331.5 + 0.6t) m の式であらわされます。雷の光は瞬時に伝わるとします。雷の発生地点の真下の地面から、観測者がいる場所までの距離は何メートルでしょうか?
(解法と答え)

まず、気温10℃のときの音の速さを求める。

331.5 + 0.6 × 10 = 331.5 + 6 = 337.5

より、10℃での音の速さは秒速 337.5 m となる。

雷が光ってから2秒後に雷の音が聞こえたので、このあいだに音がつたわった距離は、

337.5×2 = 660+15 = 675

よって答えは 675mの距離である。

※ 東京書籍や大日本図書や学校図書や教育出版の検定教科書に、音の速さの計算の出題がある。なお、教科書会社によっては雷ではなく花火の場合もある。
問題(3)
気温が-10℃のときの音の速さを求めてください。音の速さの公式は秒速 (331.5 + 0.6t) m です。(tは気温)

(解法と答え)

公式にt = 6 を代入すると
331.5 - 6 = 325.5
なので 、よって答えは秒速 325.5 m である。


高さと気温の問題
気温は、高さ10km までは、その地点の上空にむかって 高さが 1km 高くなるごとに気温が 6 ℃ 低くなることが、すでに実験的に分かっています。つまり高さ0mの場所の気温がa℃の場合、b km 高くなるにつれて
      ( a - 6b )℃
の公式で、上空の気温があらわされることが分かっています。(末尾の「℃」は温度の単位の記号。)

この式をもとにして、次の条件のときの気温をもとめてください。

(問題 ) 地上の気温が 30 ℃ のとき、4km 上空の気温をもとめてください。


(解法と答え)

公式に a = 30 と b = 4 を代入すると、
( 30 - 6×4 )= 30 - 24 = 6
よって上空4kmでの気温は 6℃ である。
※ 日本文教出版、大日本図書の教科書に、似たような出題がある。

式の項編集

文字を含む項編集

「項」(こう)については、正の数・負の数で、一度、説明した。例えば、2+5-9+4の式の項といえば、2、5、-9、4の4つのことである。この章では文字を含む項について考える。例えば、

7+5xy

という式の場合、和の形で表すと 7 + 5x + (-y ) となる。したがって、この式の項は7、5x、-y の3つである。このように文字を含んだ式も含まない式も、項についての考え方は同じである。

項の種類と係数編集

7+5xy

について、文字xについている +5 と文字についている -1 のことを、それぞれ係数(けいすう)という。7は係数ではない。

つまり、文字をふくむ項についている数字と符号との積が係数である。


定数項と係数編集

では、次の式を考えてみよう。


3y + 5x - 2

この式の中で、文字を含む項は 3y、5x、文字を含まない項は -2 である。

文字を含む多項式の中で、文字を含まない項を定数項(ていすうこう)という。ここでは -4 が定数項である。

また、3y という項について、具体的な数字である 3 を yの係数(けいすう、英:coefficient コエフィシェント) という。 同様に、xの係数は5である。

定数項
文字を含まない項
係数
文字と数の積で表せる項のうち、数の部分


同類項編集

文字の部分が同じ項のことを同類項(どうるいこう、英:like terms)という。次の式について考えてみよう。

4x+8x+2y-3y2

この式で 4x と 8x は、係数をのぞくと同じxとなりますから同類項だといえる。しかし、2y と 3y2同類項ではない。文字の部分がそれぞれ y と y2 となっていて指数が違うので、これらは文字の部分が同じとはいえない。したがって、同類項ではないということになる。


もし文字式のなかに同類項の加減算があれば、

4x+8x+2y-3y2 = 12x+2y - 3y2

のように、同類項どうしで計算できて、式を短くできる場合が多い。

また、上記の計算例から分かるように、同類項の加減算の計算では、係数だけを加減算すればいい。

たとえば、右側の式 12x の係数 12 は、左側の式の項 4x と 項 8x という同類項どうしの係数4と8を足し合わせたもの(4+8)と同じ値になっている。

文字の式の利用編集

等式編集

次のようなときを考えてみよう。

「ガム1枚で5円します。そのとき、ガムをa枚買うとb円になります。」

この場合、

5a=b 

という式が立てられる。このように等号(=)で2つの式が等しいことを表している物を等式(とうしき)という。また、等号の右側を 右辺 (うへん、英:right-hand side)といい、等号の左側を 左辺(さへん、英:left-hand side) という。つまり、5a=bは等式で、左辺は5a、右辺はbである。

右辺と左辺をあわせて 両辺 (りょうへん)という。

不等式編集

次のようなときを考えてみよう。

「1冊a円のノートを2冊と、1本b円の鉛筆を3本買うと、代金の合計は500円より多い。」

この場合、 という式が立てられる。このように2つの数量の間の関係を不等号 ≦、≧、>、< を使って表した式を 不等式 (ふとうしき、英:inequality イニクウォリティ)という。また、不等式の右側を 右辺 と言い、不等式の左側を 左辺 という。つまり、 は不等式で、左辺は、 、右辺は500である。

右辺と左辺をあわせて 両辺 という。

「xは50より大きい または xは50と等しい」を   と表す。

「xは50より小さい または xは50と等しい」を   と表す。

   も不等号である。

一次式と二次式編集

3x-4y+5

のように、文字の指数が 1 までである式を一次式(いちじしき)という。(指数の 1 は記載を省略するので、上記の式中には書かれてない。)


いっぽう、

3x2-4y2+5

のように文字の指数に2を含み、最大の指数が 2 までである式を二次式という。


なお、

x+6xy-2y+5

のような文字 xy をふくむ式については、説明を省略する(※ 検定教科書でも省略している)。中学1年生は考えなくて良い。


実用の問題編集

お金の計算編集

問題

a円の 8% を文字式であらわしてみましょう。(2018年度の消費税)

解法 1% とは   である。なので 8% は   になる。
(答え)   円 または 0.08a 円


約分をして    と書いても数学的には間違いではない。しかし、百分率の計算などの実務の問題の場合、あとの計算のことまで考えて、約分しないで分母を100のままにしておく場合もある。


問題

税抜きの値段が a円 の品物は、消費税こみ(消費税は8%とする)で、合計いくらになるか、文字式であらわしなさい。

解法 a + 0.08a
(答え)  円 または 1.08a 円


問題

花子さんの地元のスーパーでは、お弁当の値段が、午後5時から午後6時までは定価から3割引きになります。 値引き前のお弁当の値段を、消費税込みで a円とした場合、午後5時から午後6時までの、お弁当を買うさいに払う値段を、文字式であらわしなさい。(※ すでに税込みの値段にしてあるので、消費税については考えなくてよいとする。)

解法 a - 0.3a = 0.7a
(答え)  円 または 0.7a 円

※ まちがえて 0.3a 円 を答えとするような計算ミスが時々あるので、気をつけよう。

図形の数量編集

問題

一辺の長さを a cm(センチメートル)とする正方形の面積はいくらかを、文字式であらわしてください。

(答え) a2 cm2

また、この正方形の周の長さを文字式で あらわしてください。


問題

長方形があります。縦の長さを a cm 、横の長さをb cm とします。面積を文字式であらわしてください。また、周の長さを文字式であらわしてください。

(※ 答えは省略) 検定教科書でも答えは省略されている。 自分で考えてみて、どうしても分からなかったら学校などで教わろう。



問題

三角形があります。底辺が a cm , 高さが h cm だとします。この三角形の面積はいくらかを、文字式であらわしてください。

解法 三角形の面積は (底辺)×(高さ)÷2 である。これを文字式であらわせばいい。
(答え)  cm2


※ なお h とは、高さを意味する英語 height (ハイト)の(かしら)文字。 なので、高さをあらわす文字として、数学や理科では、よく h が使われる。


そのほか編集

問題

自動車が時速80km でa時間つづけて走っていたとします(※ 現実世界の自動車道路は途中でインターチェンジなどがあって停車するかもしれないが、しかし、そういうことは、この問題では考えない)。 この自動車がa時間によって走った 道のりは、いくらかを、文字式であらわしてください。

(答え) 80a km


速さの単位の記号
※ 東京書籍の検定教科書(平成27年検定版, p.75)に km/h がある。

時速 60 km のことを、数学や理科では「 60 km/h 」のように書くことがあります。

h とは、1時間(=60分)を意味する英語 hour の頭文字です。

つまり、時速をあらわす記号は km/h です。




問題

タカシくんは a km の道のりを 2時間で歩き終えました。タカシくんの歩行の時速を文字式であらわしてください。

(答え)時速  (km)

円の数量編集

小学校では、「円周率は3.14」としましたが、実際には円周率は3.141592653589793…と無限に続き、数では表せません。そこで、円周率を文字で表すときには   (パイ)という記号を使います。この記号は、ギリシャ文字の小文字のひとつです。(※ 中学では、ギリシャ文字に深入りしなくてよいです。)

円周の長さは、

(円周の長さ) = 2 ×(半径) ×(円周率)

です。

円の面積は、

(円の面積) = (円周率)×(半径)×(半径)

です。

では、円の半径を r (cm)として、円周の長さと、円の面積とを、それぞれ文字式になおしてみましょう。(円の半径を表す文字には、よく r をつかう。)

円周の長さ
(円周の長さ) = 2 ×(半径) ×(円周率)
= 2 ×r ×  
= 2  r

よって、円周の式は 2 r cm です。


円の面積
(円の面積) = (円周率)×(半径)×(半径)
  × r × r
  r 2

よって、円の面積の式は  r 2 cm2 です。


文字式に、円周率を表す のように、ある決まった数をあらわす文字が含まれる場合、書く順序は、
    定数を表す数字 → 定数を表す文字 → その他の文字
の順に書きます。 例:a× ×4 → 4 a


※ なお半径を意味する文字 r は、半径を意味する英語 radius (レイディウス)が由来。