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初等数学公式集/微積分/証明
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積分
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基本的な関数の積分公式
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その他三角関数の積分
∫
sin
2
x
d
x
=
2
x
−
sin
2
x
4
+
C
{\displaystyle \int \sin ^{2}xdx={\frac {2x-\sin 2x}{4}}+C}
⬇️
∫
cos
2
x
d
x
=
2
x
+
sin
2
x
4
+
C
{\displaystyle \int \cos ^{2}xdx={\frac {2x+\sin 2x}{4}}+C}
⬇️
∫
1
sin
x
d
x
=
1
2
log
(
1
−
cos
x
1
+
cos
x
)
+
C
=
1
2
log
|
tan
x
2
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{\sin x}}dx={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}\right)+C={\frac {1}{2}}\log \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|+C}
⬇️
∫
1
cos
x
d
x
=
1
2
log
(
1
+
sin
x
1
−
sin
x
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{\cos x}}dx={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right)+C}
⬇️
∫
1
1
±
sin
x
d
x
=
tan
x
∓
1
cos
x
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{1\pm \sin x}}dx=\tan x\mp {\frac {1}{\cos {x}}}+C}
⬇️
∫
1
1
±
sin
x
d
x
=
−
2
1
±
tan
x
2
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{1\pm \sin x}}dx=-{\frac {2}{1\pm \tan {\frac {x}{2}}}}+C}
⬇️
∫
1
1
±
cos
x
d
x
=
−
1
tan
x
±
1
sin
x
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{1\pm \cos x}}dx=-{\frac {1}{\tan {x}}}\pm {\frac {1}{\sin {x}}}+C}
⬇️
∫
1
1
+
cos
x
d
x
=
tan
x
2
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{1+\cos x}}dx=\tan {\frac {x}{2}}+C}
⬇️
∫
1
1
−
cos
x
d
x
=
−
1
tan
x
2
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{1-\cos x}}dx=-{\frac {1}{\tan {\frac {x}{2}}}}+C}
⬇️
∫
sin
2
x
d
x
=
2
x
−
sin
2
x
4
+
C
{\displaystyle \int \sin ^{2}xdx={\frac {2x-\sin 2x}{4}}+C}
倍角（半角）公式より、
sin
2
x
=
1
−
cos
2
x
2
{\displaystyle \sin ^{2}x={\frac {1-\cos 2x}{2}}}
∫
sin
2
x
d
x
=
∫
(
1
−
cos
2
x
2
)
d
x
=
1
2
(
∫
d
x
−
∫
cos
2
x
d
x
)
=
1
2
(
x
−
sin
2
x
2
+
C
)
=
2
x
−
sin
2
x
4
+
C
{\displaystyle \int \sin ^{2}xdx=\int \left({\frac {1-\cos 2x}{2}}\right)dx={\frac {1}{2}}\left(\int dx-\int \cos 2xdx\right)={\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\sin 2x}{2}}+C\right)={\frac {2x-\sin 2x}{4}}+C}
∫
cos
2
x
d
x
=
2
x
+
sin
2
x
4
+
C
{\displaystyle \int \cos ^{2}xdx={\frac {2x+\sin 2x}{4}}+C}
倍角（半角）公式より、
cos
2
x
=
1
+
cos
2
x
2
{\displaystyle \cos ^{2}x={\frac {1+\cos 2x}{2}}}
∫
cos
2
x
d
x
=
∫
(
1
+
cos
2
x
2
)
d
x
=
1
2
(
∫
d
x
+
∫
cos
2
x
d
x
)
=
1
2
(
x
+
sin
2
x
2
+
C
)
=
2
x
+
sin
2
x
4
+
C
{\displaystyle \int \cos ^{2}xdx=\int \left({\frac {1+\cos 2x}{2}}\right)dx={\frac {1}{2}}\left(\int dx+\int \cos 2xdx\right)={\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {\sin 2x}{2}}+C\right)={\frac {2x+\sin 2x}{4}}+C}
∫
1
sin
x
d
x
=
1
2
log
(
1
−
cos
x
1
+
cos
x
)
+
C
=
1
2
log
|
tan
x
2
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{\sin x}}dx={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}\right)+C={\frac {1}{2}}\log \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|+C}
（解法1）
∫
1
sin
x
d
x
=
1
2
log
(
1
−
cos
x
1
+
cos
x
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{\sin x}}dx={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}\right)+C}
∫
1
sin
x
d
x
=
∫
sin
x
sin
2
x
d
x
=
∫
sin
x
1
−
cos
2
x
d
x
{\displaystyle \int {\frac {1}{\sin x}}dx=\int {\frac {\sin x}{\sin ^{2}x}}dx=\int {\frac {\sin x}{1-\cos ^{2}x}}dx}
cos
x
=
t
{\displaystyle \cos x=t}
とおいて、置換積分を行う。
微分して、
d
t
=
−
sin
x
d
x
{\displaystyle dt=-\sin xdx}
、
∫
sin
x
1
−
cos
2
x
d
x
=
−
∫
1
1
−
t
2
d
t
=
−
∫
1
(
1
−
t
)
(
1
+
t
)
d
t
{\displaystyle \int {\frac {\sin x}{1-\cos ^{2}x}}dx=-\int {\frac {1}{1-t^{2}}}dt=-\int {\frac {1}{(1-t)(1+t)}}dt}
部分分数に分解して、
−
∫
1
(
1
−
t
)
(
1
+
t
)
d
t
=
−
1
2
∫
(
1
1
−
t
+
1
1
+
t
)
d
t
=
−
1
2
(
−
log
|
1
−
t
|
+
log
|
1
+
t
|
)
+
C
=
1
2
(
log
|
1
−
t
|
−
log
|
1
+
t
|
)
+
C
=
1
2
log
|
1
−
t
1
+
t
|
+
C
{\displaystyle -\int {\frac {1}{(1-t)(1+t)}}dt=-{\frac {1}{2}}\int \left({\frac {1}{1-t}}+{\frac {1}{1+t}}\right)dt=-{\frac {1}{2}}\left(-\log {|1-t|}+\log {|1+t|}\right)+C={\frac {1}{2}}\left(\log {|1-t|}-\log {|1+t|}\right)+C={\frac {1}{2}}\log \left|{\frac {1-t}{1+t}}\right|+C}
t
=
cos
x
{\displaystyle t=\cos x}
を戻す。この時、
−
1
≤
cos
x
≤
1
{\displaystyle -1\leq \cos x\leq 1}
であり、
1
−
t
1
+
t
{\displaystyle {\frac {1-t}{1+t}}}
は正であるので、絶対値は外せる。
1
2
log
|
1
−
t
1
+
t
|
+
C
=
1
2
log
(
1
−
cos
x
1
+
cos
x
)
+
C
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\log \left|{\frac {1-t}{1+t}}\right|+C={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}\right)+C}
（解法2:
tan
x
2
{\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}}
を用いて求める方法）
tan
x
2
{\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}}
が使えるよう、
x
2
{\displaystyle {\frac {x}{2}}}
の形にそろえる。
t
=
tan
x
2
{\displaystyle t=\tan {\frac {x}{2}}}
とおくと、
半角の公式（拡張）
を使って、
sin
x
=
2
t
1
+
t
2
{\displaystyle \sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}}}
t
=
tan
x
2
{\displaystyle t=\tan {\frac {x}{2}}}
を微分すると、
d
t
d
x
=
1
2
cos
2
x
2
=
cos
2
x
2
+
sin
2
x
2
2
cos
2
x
2
=
1
2
(
1
+
tan
2
x
2
)
=
1
2
(
1
+
t
2
)
{\displaystyle {\frac {dt}{dx}}={\frac {1}{2\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {\cos ^{2}{\frac {x}{2}}+\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {1}{2}}\left(1+\tan ^{2}{\frac {x}{2}}\right)={\frac {1}{2}}(1+t^{2})}
したがって、
d
x
=
2
1
+
t
2
d
t
{\displaystyle dx={\frac {2}{1+t^{2}}}dt}
。
各々、
∫
1
sin
x
d
x
{\displaystyle \int {\frac {1}{\sin x}}dx}
に代入して、
∫
1
2
t
1
+
t
2
⋅
2
1
+
t
2
d
t
=
∫
1
+
t
2
2
t
⋅
2
1
+
t
2
d
t
=
∫
1
t
d
t
=
log
|
t
|
+
C
=
1
2
log
|
tan
x
2
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{\frac {2t}{1+t^{2}}}}\cdot {\frac {2}{1+t^{2}}}dt=\int {\frac {1+t^{2}}{2t}}\cdot {\frac {2}{1+t^{2}}}dt=\int {\frac {1}{t}}dt=\log |t|+C={\frac {1}{2}}\log \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|+C}
∫
1
cos
x
d
x
=
1
2
log
(
1
+
sin
x
1
−
sin
x
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{\cos x}}dx={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right)+C}
（解法1）
∫
1
cos
x
d
x
=
1
2
log
(
1
+
sin
x
1
−
sin
x
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{\cos x}}dx={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right)+C}
∫
1
cos
x
d
x
=
∫
cos
x
cos
2
x
d
x
=
∫
cos
x
1
−
sin
2
x
d
x
{\displaystyle \int {\frac {1}{\cos x}}dx=\int {\frac {\cos x}{\cos ^{2}x}}dx=\int {\frac {\cos x}{1-\sin ^{2}x}}dx}
sin
x
=
t
{\displaystyle \sin x=t}
とおいて、置換積分を行う。
微分して、
d
t
=
cos
x
d
x
{\displaystyle dt=\cos xdx}
、
∫
cos
x
1
−
sin
2
x
d
x
=
−
∫
1
1
−
t
2
d
t
=
∫
1
(
1
−
t
)
(
1
+
t
)
d
t
{\displaystyle \int {\frac {\cos x}{1-\sin ^{2}x}}dx=-\int {\frac {1}{1-t^{2}}}dt=\int {\frac {1}{(1-t)(1+t)}}dt}
部分分数に分解して、
∫
1
(
1
−
t
)
(
1
+
t
)
d
t
=
1
2
∫
(
1
1
−
t
+
1
1
+
t
)
d
t
=
1
2
(
−
log
|
1
−
t
|
+
log
|
1
+
t
|
)
+
C
=
1
2
log
|
1
+
t
1
−
t
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{(1-t)(1+t)}}dt={\frac {1}{2}}\int \left({\frac {1}{1-t}}+{\frac {1}{1+t}}\right)dt={\frac {1}{2}}\left(-\log {|1-t|}+\log {|1+t|}\right)+C={\frac {1}{2}}\log \left|{\frac {1+t}{1-t}}\right|+C}
t
=
sin
x
{\displaystyle t=\sin x}
を戻す。この時、
−
1
≤
sin
x
≤
1
{\displaystyle -1\leq \sin x\leq 1}
であり、
1
−
t
1
+
t
{\displaystyle {\frac {1-t}{1+t}}}
は正であるので、絶対値は外せる。
1
2
log
|
1
+
t
1
−
t
|
+
C
=
1
2
log
(
1
+
sin
x
1
−
sin
x
)
+
C
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\log \left|{\frac {1+t}{1-t}}\right|+C={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right)+C}
（解法2:
tan
x
2
{\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}}
を用いて求める方法）
tan
x
2
{\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}}
が使えるよう、
x
2
{\displaystyle {\frac {x}{2}}}
の形にそろえる。
t
=
tan
x
2
{\displaystyle t=\tan {\frac {x}{2}}}
とおくと、
半角の公式（拡張）
を使って、
cos
x
1
−
t
2
1
+
t
2
{\displaystyle \cos x{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}
t
=
tan
x
2
{\displaystyle t=\tan {\frac {x}{2}}}
を微分すると、
d
t
d
x
=
1
2
(
1
+
t
2
)
{\displaystyle {\frac {dt}{dx}}={\frac {1}{2}}(1+t^{2})}
。したがって、
d
x
=
2
1
+
t
2
d
t
{\displaystyle dx={\frac {2}{1+t^{2}}}dt}
。（
導出は上記参照
）
各々、
∫
1
cos
x
d
x
{\displaystyle \int {\frac {1}{\cos x}}dx}
に代入して、
∫
1
1
−
t
2
1
+
t
2
⋅
2
1
+
t
2
d
t
=
∫
1
+
t
2
1
−
t
2
⋅
2
1
+
t
2
d
t
=
∫
2
1
−
t
2
d
t
{\displaystyle \int {\frac {1}{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}\cdot {\frac {2}{1+t^{2}}}dt=\int {\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}\cdot {\frac {2}{1+t^{2}}}dt=\int {\frac {2}{1-t^{2}}}dt}
部分分数に分解して、
∫
2
1
−
t
2
d
t
=
∫
2
(
1
−
t
)
(
1
+
t
)
d
t
=
∫
(
1
1
−
t
+
1
1
+
t
)
d
t
=
(
−
log
|
1
−
t
|
+
log
|
1
+
t
|
)
+
C
=
log
|
1
+
t
1
−
t
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {2}{1-t^{2}}}dt=\int {\frac {2}{(1-t)(1+t)}}dt=\int \left({\frac {1}{1-t}}+{\frac {1}{1+t}}\right)dt=\left(-\log {|1-t|}+\log {|1+t|}\right)+C=\log \left|{\frac {1+t}{1-t}}\right|+C}
t
=
tan
x
2
{\displaystyle t=\tan {\frac {x}{2}}}
を戻して、
log
|
1
+
t
1
−
t
|
+
C
=
log
|
1
+
tan
x
2
1
−
tan
x
2
|
+
C
{\displaystyle \log \left|{\frac {1+t}{1-t}}\right|+C=\log \left|{\frac {1+\tan {\frac {x}{2}}}{1-\tan {\frac {x}{2}}}}\right|+C}
以下、式変形のバリエーション。
log
|
1
+
tan
x
2
1
−
tan
x
2
|
+
C
=
log
|
cos
x
2
+
sin
x
2
cos
x
2
−
sin
x
2
|
+
C
{\displaystyle \log \left|{\frac {1+\tan {\frac {x}{2}}}{1-\tan {\frac {x}{2}}}}\right|+C=\log \left|{\frac {\cos {\frac {x}{2}}+\sin {\frac {x}{2}}}{\cos {\frac {x}{2}}-\sin {\frac {x}{2}}}}\right|+C}
分母・分子に
cos
x
2
+
sin
x
2
{\displaystyle \cos {\frac {x}{2}}+\sin {\frac {x}{2}}}
をかけると、
分母
=
cos
2
x
2
−
sin
2
x
2
=
cos
x
{\displaystyle =\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-\sin ^{2}{\frac {x}{2}}=\cos x}
、分子
=
(
cos
x
2
+
sin
x
2
)
2
=
cos
2
x
2
+
2
sin
x
2
cos
x
2
+
sin
2
x
2
=
1
+
sin
x
{\displaystyle =\left(\cos {\frac {x}{2}}+\sin {\frac {x}{2}}\right)^{2}=\cos ^{2}{\frac {x}{2}}+2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}+\sin ^{2}{\frac {x}{2}}=1+\sin x}
log
|
1
+
tan
x
2
1
−
tan
x
2
|
+
C
=
log
|
1
+
sin
x
cos
x
|
+
C
=
log
1
+
sin
x
|
cos
x
|
+
C
{\displaystyle \log \left|{\frac {1+\tan {\frac {x}{2}}}{1-\tan {\frac {x}{2}}}}\right|+C=\log \left|{\frac {1+\sin x}{\cos x}}\right|+C=\log {\frac {1+\sin x}{|\cos x|}}+C}
|
cos
x
|
=
1
−
sin
2
x
{\displaystyle |\cos x|={\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}
であるから、
log
1
+
sin
x
|
cos
x
|
+
C
=
log
1
+
sin
x
1
−
sin
2
x
+
C
=
log
(
1
+
sin
x
)
2
1
−
sin
x
1
+
sin
x
+
C
=
log
1
+
sin
x
1
−
sin
x
+
C
=
log
(
1
+
sin
x
1
−
sin
x
)
1
2
+
C
=
1
2
log
(
1
+
sin
x
1
−
sin
x
)
+
C
{\displaystyle \log {\frac {1+\sin x}{|\cos x|}}+C=\log {\frac {1+\sin x}{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}+C=\log {\frac {({\sqrt {1+\sin x}})^{2}}{{\sqrt {1-\sin x}}{\sqrt {1+\sin x}}}}+C=\log {\sqrt {\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}}+C=\log \left({\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right)^{\frac {1}{2}}+C={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right)+C}
∫
1
1
±
sin
x
d
x
=
tan
x
∓
1
cos
x
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{1\pm \sin x}}dx=\tan x\mp {\frac {1}{\cos {x}}}+C}
（解法1）
∫
1
1
±
sin
x
d
x
{\displaystyle \int {\frac {1}{1\pm \sin x}}dx}
の分母の項を減らすため、分母・分子に
1
∓
sin
x
{\displaystyle 1\mp \sin x}
をかける。
∫
1
1
±
sin
x
d
x
=
∫
1
∓
sin
x
(
1
±
sin
x
)
(
1
∓
sin
x
)
d
x
=
∫
1
∓
sin
x
1
−
sin
2
x
d
x
=
∫
1
∓
sin
x
cos
2
x
d
x
=
∫
1
cos
2
x
d
x
∓
∫
sin
x
cos
2
x
d
x
=
tan
x
∓
∫
sin
x
cos
2
x
d
x
{\displaystyle \int {\frac {1}{1\pm \sin x}}dx=\int {\frac {1\mp \sin x}{(1\pm \sin x)(1\mp \sin x)}}dx=\int {\frac {1\mp \sin x}{1-\sin ^{2}x}}dx=\int {\frac {1\mp \sin x}{\cos ^{2}x}}dx=\int {\frac {1}{\cos ^{2}x}}dx\mp \int {\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}dx=\tan x\mp \int {\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}dx}
∫
sin
x
cos
2
x
d
x
{\displaystyle \int {\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}dx}
について、
t
=
cos
x
{\displaystyle t=\cos x}
/
d
t
=
−
sin
x
d
x
{\displaystyle dt=-\sin xdx}
で置換して、
∫
sin
x
cos
2
x
d
x
=
∫
1
t
2
(
−
d
t
)
=
1
t
+
C
=
1
cos
x
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}dx=\int {\frac {1}{t^{2}}}(-dt)={\frac {1}{t}}+C={\frac {1}{\cos x}}+C}
したがって、
tan
x
∓
∫
sin
x
cos
2
x
d
x
=
tan
x
∓
1
cos
x
+
C
{\displaystyle \tan x\mp \int {\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}dx=\tan x\mp {\frac {1}{\cos x}}+C}
（解法2）
∫
1
1
±
sin
x
d
x
=
−
2
1
±
tan
x
2
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{1\pm \sin x}}dx=-{\frac {2}{1\pm \tan {\frac {x}{2}}}}+C}
t
=
tan
x
2
{\displaystyle t=\tan {\frac {x}{2}}}
とおくと、
半角の公式（拡張）
を使って、
sin
x
=
2
t
1
+
t
2
{\displaystyle \sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}}}
、
d
x
=
2
1
+
t
2
d
t
{\displaystyle dx={\frac {2}{1+t^{2}}}dt}
⬆️
∫
1
1
±
sin
x
d
x
=
∫
1
1
±
2
t
1
+
t
2
2
1
+
t
2
d
t
=
∫
1
1
+
t
2
±
2
t
1
+
t
2
2
1
+
t
2
d
t
=
∫
2
(
1
±
t
)
2
d
t
=
(
−
2
1
±
t
)
+
C
=
−
2
1
±
tan
x
2
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{1\pm \sin x}}dx=\int {\frac {1}{1\pm {\frac {2t}{1+t^{2}}}}}{\frac {2}{1+t^{2}}}dt=\int {\frac {1}{\frac {1+t^{2}\pm 2t}{1+t^{2}}}}{\frac {2}{1+t^{2}}}dt=\int {\frac {2}{(1\pm t)^{2}}}dt=\left(-{\frac {2}{1\pm t}}\right)+C=-{\frac {2}{1\pm \tan {\frac {x}{2}}}}+C}
∫
1
1
±
cos
x
d
x
=
−
1
tan
x
±
1
sin
x
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{1\pm \cos x}}dx=-{\frac {1}{\tan {x}}}\pm {\frac {1}{\sin {x}}}+C}
（解法1）
∫
1
1
±
cos
x
d
x
{\displaystyle \int {\frac {1}{1\pm \cos x}}dx}
の分母の項を減らすため、分母・分子に
1
∓
cos
x
{\displaystyle 1\mp \cos x}
をかける。
∫
1
1
±
cos
x
d
x
=
∫
1
∓
cos
x
(
1
±
cos
x
)
(
1
∓
cos
x
)
d
x
=
∫
1
∓
cos
x
1
−
cos
2
x
d
x
=
∫
1
∓
cos
x
sin
2
x
d
x
=
∫
1
sin
2
x
d
x
∓
∫
cos
x
sin
2
x
d
x
=
−
1
tan
x
∓
∫
cos
x
sin
2
x
d
x
{\displaystyle \int {\frac {1}{1\pm \cos x}}dx=\int {\frac {1\mp \cos x}{(1\pm \cos x)(1\mp \cos x)}}dx=\int {\frac {1\mp \cos x}{1-\cos ^{2}x}}dx=\int {\frac {1\mp \cos x}{\sin ^{2}x}}dx=\int {\frac {1}{\sin ^{2}x}}dx\mp \int {\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}dx=-{\frac {1}{\tan {x}}}\mp \int {\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}dx}
∫
cos
x
sin
2
x
d
x
{\displaystyle \int {\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}dx}
について、
t
=
sin
x
{\displaystyle t=\sin x}
/
d
t
=
cos
x
d
x
{\displaystyle dt=\cos xdx}
で置換して、
∫
cos
x
sin
2
x
d
x
=
∫
1
t
2
d
t
=
−
1
t
+
C
=
−
1
sin
x
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}dx=\int {\frac {1}{t^{2}}}dt=-{\frac {1}{t}}+C=-{\frac {1}{\sin x}}+C}
したがって、
tan
x
∓
∫
cos
x
sin
2
x
d
x
=
tan
x
±
1
sin
x
+
C
{\displaystyle \tan x\mp \int {\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}dx=\tan x\pm {\frac {1}{\sin x}}+C}
（解法2）
t
=
tan
x
2
{\displaystyle t=\tan {\frac {x}{2}}}
とおくと、
半角の公式（拡張）
を使って、
cos
x
1
−
t
2
1
+
t
2
{\displaystyle \cos x{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}
、
d
x
=
2
1
+
t
2
d
t
{\displaystyle dx={\frac {2}{1+t^{2}}}dt}
⬆️
∫
1
1
+
cos
x
d
x
=
tan
x
2
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{1+\cos x}}dx=\tan {\frac {x}{2}}+C}
∫
1
1
+
cos
x
d
x
=
∫
1
1
+
1
−
t
2
1
+
t
2
2
1
+
t
2
d
t
=
∫
1
1
+
t
2
+
1
−
t
2
1
+
t
2
2
1
+
t
2
d
t
=
∫
d
t
=
t
+
C
=
tan
x
2
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{1+\cos x}}dx=\int {\frac {1}{1+{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}}{\frac {2}{1+t^{2}}}dt=\int {\frac {1}{\frac {1+t^{2}+1-t^{2}}{1+t^{2}}}}{\frac {2}{1+t^{2}}}dt=\int dt=t+C=\tan {\frac {x}{2}}+C}
∫
1
1
−
cos
x
d
x
=
−
1
tan
x
2
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{1-\cos x}}dx=-{\frac {1}{\tan {\frac {x}{2}}}}+C}
∫
1
1
−
cos
x
d
x
=
∫
1
1
−
1
−
t
2
1
+
t
2
2
1
+
t
2
d
t
=
∫
1
1
+
t
2
−
1
+
t
2
1
+
t
2
2
1
+
t
2
d
t
=
∫
1
2
t
2
1
+
t
2
2
1
+
t
2
d
t
=
∫
1
t
2
d
x
=
−
1
t
+
C
=
−
1
tan
x
2
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{1-\cos x}}dx=\int {\frac {1}{1-{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}}{\frac {2}{1+t^{2}}}dt=\int {\frac {1}{\frac {1+t^{2}-1+t^{2}}{1+t^{2}}}}{\frac {2}{1+t^{2}}}dt=\int {\frac {1}{\frac {2t^{2}}{1+t^{2}}}}{\frac {2}{1+t^{2}}}dt=\int {\frac {1}{t^{2}}}dx=-{\frac {1}{t}}+C=-{\frac {1}{\tan {\frac {x}{2}}}}+C}
