制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/初期値問題の解の一意性/一般の 2 階の微分方程式の場合

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+a{\frac {dx}{dt}}+bx=f(t)$

$x(t_{0})=x'(t_{0})=0$

の解が一意であることを示すには，前と同様にして，

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+a{\frac {dx}{dt}}+bx=0$

(3.17)

$x(t_{0})=x'(t_{0})=0$

の解が $x(t)\equiv 0$ に限ることを示せばよい．そのために，

$u(t):=|x(t)|+|x'(t)|$

とおいて，$u(t)\equiv 0$ を示そう． 式 (3.17) に示したように，初期値は $0$ であるから，

$x(t)=\int _{t_{0}}^{t}x'(t)dt$

$x'(t)=\int _{t_{0}}^{t}x''(t)dt=-\int _{t_{0}}^{t}\left\{ax'(t)+bx(t)\right\}dt$

が成り立つ．これを用いて $u(t)$ を計算する． $K:=\mathrm {max} \{|a|,|b|\}$ とおくと，

$|x(t)|+|x'(t)|\leqq \int _{t_{0}}^{t}|x'(t)|dt+K\int _{t_{0}}^{t}\{|x'(t)|+|x(t)|\}dt$

$\leqq (1+K)\int _{t_{0}}^{t}\{|x(t)|+|x'(t)|\}dt$

と変形できるから，

(3.18)

$u(t)\leqq (1+K)\int _{t_{0}}^{t}u(t)dt$

を得る． 式 (3.18) の両辺に $e^{-(1+K)t}$ をかけ移項すると，

$e^{-(1+K)t}u(t)-e^{-(1+K)t}(1+K)\int _{t_{0}}^{t}u(t)dt\leqq 0$

${\frac {d}{dt}}\left\{e^{-(1+K)t}\int _{t_{0}}^{t}u(t)dt\right\}\leqq 0$

となる．これを $t_{0}$ から $t$ まで積分すると，

$e^{-(1+K)t}\int _{t_{0}}^{t}u(t)dt\leqq 0$

すなわち，

$\int _{t_{0}}^{t}u(t)dt\leqq 0$

を得る．これと 式 (3.18) より，

$0\leqq u(t)\leqq (1+K)\int _{t_{0}}^{t}u(t)dt\leqq 0$

よって，

$u(t)\equiv 0$

となり，証明が完了する．$t<t_{0}$ の場合も同様である．

例73$\quad$

$u(t):=\left\{x(t)\right\}^{2}+\left\{x'(t)\right\}^{2}$ とおいてももちろん証明はできる．試みよ．

解答例

$\diamondsuit$

例74$\quad$

例と同様にして，$n$ 階の微分方程式

$x^{(n)}+a_{1}x^{(n-1)}+a_{2}x^{(n-2)}+\cdots +a_{n-1}x'+a_{n}x=f(t)$

$x(t_{0})=\xi _{1},x'(t_{0})=\xi _{2},\cdots x^{(n-1)}(t_{0})=\xi _{n}$

の場合の解の一意性を証明せよ．

解答例

与方程式の解が一意であることを示すために，

$x^{(n)}+a_{1}x^{(n-1)}+a_{2}x^{(n-2)}+\cdots +a_{n-1}x'+a_{n}x=0$…①

$x(t_{0})=x'(t_{0})=x''(t_{0})=\cdots =x^{(n-1)}(t_{0})=0$

の解が $x(t)\equiv 0$ に限ることを示す．
①について，$u(t)=|x|+|x'|+|x''|+\cdots +|x^{(n-1)}|$ とおく．
$x(t_{0})=x'(t_{0})=x''(t_{0})=\cdots =0$ であるから，

$x(t)=\int _{t_{0}}^{t}x'dt+x(t_{0})=\int _{t_{0}}^{t}x'dt\quad (\because x(t_{0})=0)$

$\therefore |x(t)|\leqq \int _{t_{0}}^{t}|x'|dt$

同様に，

$|x'(t)|\leqq \int _{t_{0}}^{t}|x''|dt$

$|x''(t)|\leqq \int _{t_{0}}^{t}|x'''|dt$

$\cdots$

$|x^{(n-2)}|\leqq \int _{t_{0}}^{t}|x^{(n-1)}|dt$…以上の式を②

また，

$|x^{(n-1)}|\leqq \int _{t_{0}}^{t}|x^{(n)}|dt=\int _{t_{0}}^{t}|(-a_{1}x^{(n-1)}-a_{2}x^{(n-2)}-\cdots -a_{n-1}x'-a_{n}x)|dt$

$\leqq \int _{t_{0}}^{t}\{a_{1}|x^{(n-1)}|+a_{2}|x^{(n-2)}|+\cdots a_{n-1}|x'|+a_{n}|x|\}dt$…③

今，$K=\mathrm {max} (a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n-1},a_{n})$ とすると，②③より

$|x|+|x'|+|x''|+\cdots +|x^{(n-1)}|\leqq \int _{t_{0}}^{t}|x'|dt+\int _{t_{0}}^{t}|x''|dt+\int _{t_{0}}^{t}|x'''|dt+\cdots +\int _{t_{0}}^{t}|x^{(n)}|dt$

$\leqq \int _{t_{0}}^{t}|x'|dt+\int _{t_{0}}^{t}|x''|dt+\int _{t_{0}}^{t}|x'''|dt+\cdots +\int _{t_{0}}^{t}|x^{(n-1)}|dt+K\int _{t_{0}}^{t}\{|x^{(n-1)}|+|x^{(n-2)}|+\cdots +|x'|+|x|\}dt$

$\leqq (K+1)\int _{t_{0}}^{t}\{|x^{(n-1)}|+|x^{(n-2)}|+\cdots +|x'|+|x|\}dt$

すなわち， $u\leqq (K+1)\int _{t_{0}}^{t}u\ dt$…④
両辺に $e^{-(1+K)t}>0$ を掛けて，
$ue^{-(1+K)t}\leqq e^{-(1+K)t}(1+K)\int _{t_{0}}^{t}u\ dt$
$\therefore ue^{-(1+K)t}-(1+K)e^{-(1+K)t}\int _{t_{0}}^{t}u\ dt\leqq 0$
$\therefore {\frac {d}{dt}}\left\{e^{-(1+K)t}\int _{t_{0}}^{t}u\ dt\right\}\leqq 0$
両辺を $t_{0}$ から $t$ まで積分すると，
$e^{-(1+K)t}\int _{t_{0}}^{t}u\ dt\leqq 0$
$\therefore \int _{t_{0}}^{t}u\ dt\leqq 0$…⑤
$u$ は明らかに， $u=|x|+|x'|+|x''|+\cdots +|x^{(n-1)}|\geqq 0$…⑥
④⑤⑥より
$0\leqq u\leqq \int _{t_{0}}^{t}u\ dt\leqq 0$
$\therefore u=0$．
$\therefore x=0$．

$\diamondsuit$