制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/初期値問題の解の一意性/1 階線形微分方程式の場合

${\frac {dx}{dt}}+ax=f(x),\quad x(t_{0})=x_{0}$

の解が二つあると仮定し，それらを $\varphi _{1}(t),\varphi _{2}(t)$ とする．

${\frac {d\varphi _{1}(t)}{dt}}+a\varphi _{1}(t)\equiv f(x),\quad \varphi _{1}(t_{0})=x_{0}$

${\frac {d\varphi _{2}(t)}{dt}}+a\varphi _{2}(t)\equiv f(x),\quad \varphi _{2}(t_{0})=x_{0}$

であるから，

$u(t):=\varphi _{1}(t)-\varphi _{2}(t)$

とおくと，これは

${\frac {du}{dt}}+au(t)\equiv 0,\quad u(t_{0})=0$

を満たす．$u(t)\equiv 0$ を示せばよい．上式の両辺に $e^{at}$ をかけると，

(3.13c)

$e^{at}{\frac {du}{dt}}+e^{at}\cdot au(t)={\frac {d}{dt}}\left\{e^{at}u(t)\right\}\equiv 0$

となる．これを $t_{0}$ から $t$ まで積分すると，$u(t_{0})=0$ であるから，

$e^{at}u(t)\equiv 0,\quad \therefore u(t)\equiv 0$

を得る．