数学演習/中学校3年生/2次方程式/解答

問題はこちらにあります。

2次方程式(1)

(1)

{\begin{matrix}x^{2}&=&36-11&=&25\\x&=&\pm 5\end{matrix}}

(2)

{\begin{matrix}x^{2}-10&=&0\\x^{2}&=&10\\x&=&\pm {\sqrt {10}}\end{matrix}}

(3)

{\begin{matrix}x(x-2)&=&0\\x&=&0,2\end{matrix}}

(4) $x+3=A$ としている。

{\begin{matrix}(x+3)^{2}&=&0\\A^{2}&=&0\\A&=&0\\x+3&=&0\\x&=&-3\end{matrix}}

(5) $x-4=B$ としている。

{\begin{matrix}(x-4)^{2}&=&8\\B^{2}&=&8\\B&=&\pm 2{\sqrt {2}}\\x-4&=&\pm 2{\sqrt {2}}\\x&=&4\pm 2{\sqrt {2}}\end{matrix}}

2次方程式(2)

(1)

{\begin{matrix}x^{2}+5x+6&=&0\\(x+2)(x+3)&=&0\\x&=&-2,-3\end{matrix}}

(2)

{\begin{matrix}x^{2}+14x+49&=&0\\(x+7)^{2}&=&0\\x&=&-7\end{matrix}}

(3)

{\begin{matrix}x^{2}-9&=&-6x+18\\x^{2}+6x-27&=&0\\(x+9)(x-3)&=&0\\x&=&-9,3\end{matrix}}

(3)別解

{\begin{matrix}x^{2}-9&=&-6x+18\\(x+3)(x-3)&=&-6(x-3)\\(x+3+6)(x-3)&=&0\\(x+9)(x-3)&=&0\\x&=&-9,3\end{matrix}}

(4)

{\begin{matrix}12x^{2}-7x+1&=&0\\(3x-1)(4x-1)&=&0\\x&=&{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}}\end{matrix}}

(5)乗法公式 $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$ に $a=x,b={\sqrt {2}}$ を代入した形になっている。

{\begin{matrix}x^{2}-2{\sqrt {2}}x+2&=&0\\x^{2}-2\times x\times {\sqrt {2}}+({\sqrt {2}})^{2}&=&0\\(x-{\sqrt {2}})^{2}&=&0\\x&=&{\sqrt {2}}\end{matrix}}

2次方程式(3)

(1)

{\begin{matrix}x^{2}-2x-4&=&0\\x^{2}-2x-4+5&=&5\\x^{2}-2x+1&=&5\\(x-1)^{2}&=&5\\x-1&=&\pm {\sqrt {5}}\\x&=&1\pm {\sqrt {5}}\end{matrix}}

(2)

{\begin{matrix}x^{2}+4x-6&=&0\\x^{2}+4x-6+10&=&10\\x^{2}+4x+4&=&10\\(x+2)^{2}&=&10\\x+2&=&\pm {\sqrt {10}}\\x&=&-2\pm {\sqrt {10}}\end{matrix}}

(3)

{\begin{matrix}x^{2}-x-5&=&0\\x^{2}-2\times {\frac {1}{2}}\times x+{\frac {1}{4}}-5&=&{\frac {1}{4}}\\(x-{\frac {1}{2}})^{2}&=&{\frac {1}{4}}+5\\(x-{\frac {1}{2}})^{2}&=&{\frac {21}{4}}\\x-{\frac {1}{2}}&=&\pm {\frac {\sqrt {21}}{2}}\\x&=&{\frac {1\pm {\sqrt {21}}}{2}}\end{matrix}}

2次方程式(4)

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ を利用する。

(1)a=1,b=-2,c=-4を代入すると、

{\begin{matrix}x&=&{\frac {-(-2)\pm {\sqrt {(-2)^{2}-4\times 1\times (-4)}}}{2\times 1}}\\&=&{\frac {2\pm {\sqrt {20}}}{2}}\\&=&{\frac {2\pm 2{\sqrt {5}}}{2}}\\&=&1\pm {\sqrt {5}}\end{matrix}}

(2)a=1,b=4,c=-6を代入すると、

{\begin{matrix}x&=&{\frac {-4\pm {\sqrt {4^{2}-4\times 1\times (-6)}}}{2\times 1}}\\&=&{\frac {-4\pm {\sqrt {40}}}{2}}\\&=&{\frac {-4\pm 2{\sqrt {10}}}{2}}\\&=&-2\pm {\sqrt {10}}\end{matrix}}

(3)a=1,b=-1,c=-5を代入すると、

{\begin{matrix}x&=&{\frac {-(-1)\pm {\sqrt {(-1)^{2}-4\times 1\times (-5)}}}{2\times 1}}\\&=&{\frac {1\pm {\sqrt {21}}}{2}}\\\end{matrix}}

2次方程式の利用

(2)もとの正方形の1辺の長さをx(cm)とする。

(x-3)(x+1)=60 となるから、これを解くとx=9 となる。(答え)9cm

2次方程式と解の関係

※高校1年の範囲なので読み飛ばしてよい。

2次方程式が解を持つ条件は解の公式の根号が $b^{2}-4ac\geq 0$ であればよい。正の場合は解は異なる2数、0ならば重解の1数である。負の場合は根号の中がマイナスとなってしまうため解が存在しない(高校2年になるとこのような数も学習する)。

解の判定に使用される式 $D=b^{2}-4ac$ のことを判別式と呼ぶ。

(1) $x^{2}-2x+a=0$ が解を持つようなaの範囲は $2^{2}-4\times 1\times a\geq 0$ である。 $-4a\geq -4$ となり不等式の両辺に負の数をかけると不等号が入れ替わることに注意すると、 $a\leq 1$ となる。

(2) $x^{2}+bx+10=0$ が解を持つようなbの範囲は $b^{2}-4\times 1\times 10\geq 0$ である。つまり $b^{2}-40\geq 0$ である。 $b^{2}-40=0$ の解が $b=\pm 2{\sqrt {10}}$ であることを頭の片隅に入れておくと $b^{2}-40\geq 0$ の解は $b\geq 2{\sqrt {10}},b\leq -2{\sqrt {10}}$ となる。

(2) $x^{2}+cx-10=0$ が解を持つようなbの範囲は $c^{2}-4\times 1\times (-10)\geq 0$ である。つまり $c^{2}\geq -40$ となるが、2乗した数は負になり得ないので必然的に $c^{2}\geq 0$ である。 $c^{2}\geq 0$ ということはcに何を入れてもよいということが分かる。