「高等学校数学II/式と証明・高次方程式」の版間の差分
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'''<nowiki>[すべての場合の結論]</nowiki>''' <br>
よって、aが正または負またはゼロの、すべての場合わけの場合について、 <math> a^2 \geqq 0 </math> が証明できた。(証明 おわり)
===== 根号をふくむ不等式 =====
2つの正の数 a, b が a＞b または a≧b ならば、両辺を2乗しても大小関係は同じままである。
つまり、
: <math> a>0 </math>, <math> b>0 </math> のとき、
::<math> a > b \Longrightarrow a^2 > b^2 </math>
::<math> a \geqq b \Longrightarrow a^2 \geqq b^2 </math>
である。
証明は、結論の両辺 <math> a^2 > b^2 </math> を移項することで得られる 両辺の差 <math> a^2 - b^2 </math> を式変形すれば証明できる。
証明の単純化のため、まず a>b の場合を証明する。
:<math> a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) </math>
である。
仮定より、a,b は正の数なので、
:<math> (a+b)>0 </math>
である。
別の仮定より、 a > b なので、
:<math> (a-b)>0 </math>
でもある。
なので、
:<math> a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) >0 </math>
よって、<math> a > b \Longrightarrow a^2 > b^2 </math> である。
a≧bの場合も同様に証明できる。
どこの検定教科書にもある典型的な例題を次に示すので、次の問題を問いてほしい。
;例題
<math> a>0 </math>, <math> b>0 </math> のとき、次の不等式を証明せよ。
::<math> \sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a+b} </math>
（解法）
とにかく、高校レベルの不等式の証明問題では普通、まず両辺の平方の差を求めればよい。
両辺の平方の差は、
:<math>( \sqrt{a} + \sqrt{b} )^2 - ( \sqrt{a+b} )^2 = |a| + 2 \sqrt{a} \sqrt{b} + |b| - |a+b| </math>
ここで、仮定の <math> a>0 </math>, <math> b>0 </math> より、
:<math> |a|=a </math>, <math> |b|=b </math>, <math> |a+b| = a+b </math>
である。
また、a,b はともに実数なので、ルート記号の内部どうしの数はかけ算できるので、
::<math> \sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab} </math>
これらの結果を使うと、両辺の平方の差は、次のように書き換えできる。
:<math>( \sqrt{a} + \sqrt{b} )^2 - ( \sqrt{a+b} )^2 = |a| + 2 \sqrt{a} \sqrt{b} + |b| - |a+b| = a + 2 \sqrt{ab} +b - (a+b) = 2 \sqrt{ab} </math> (1)
そして、仮定の <math> a>0 </math>, <math> b>0 </math> より、
:<math> \sqrt{ab} > 0</math>
であるので、これを式(1)と組み合わせて、
:<math>( \sqrt{a} + \sqrt{b} )^2 - ( \sqrt{a+b} )^2 > 0 </math>
となる。
したがって、両辺の平方の差が正なので、おおもとの不等式も両辺が正であるなら真である。
そして、おおもとの不等式の両辺は仮定より正であるので、よって問題は証明されたので、つまり、この問題の仮定の場合は
:<math> \sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a+b} </math>
である。（証明 おわり）
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