「高等学校数学A/図形の性質」の版間の差分
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==== 三角形の垂心 ====
[[File:Orthocenter triangle.svg|thumb|]]
外心の性質を利用して、次の定理が証明できる。
{| style="border:2px solid yellow;width:80%" cellspacing=0
|style="background:yellow"|'''三角形の垂心'''
|-
|style="padding:5px"|
;定理
三角形の各頂点から対辺またはその延長に降ろした垂線は、1点で交わる。
|}
;証明
[[File:Orthocenter triangle proof.svg|thumb|400px]]
まず、△ABCをもとに、右の図のように、各辺が平行になるように△RPQを書く。
すると、
四角形RBCA は平行四辺形なので、 RA ＝ BC である。
同様に、四角形ABCQ も平行四辺形なので BC＝AQ である。
上記より RA＝BC かつ BC＝AQ なので
よって、 RA ＝ AQ になる。
次に、点Aから対辺またはその延長上に垂線ADを引く。
すると、 RQ // BC の仮定により、
平行な2直線の同位角が等しい事を利用して、
:AD ⊥ RQ
が導かれる。
すると、この線分ADは、△RQPの辺RQの垂直二等分線である。
△ABC の残りの2つの頂点B,C についても同様のことが成り立つ。つまり、
:頂点Bから辺ACまたはその延長上に降ろした垂線BEについても、同様のことが成り立ち、線分BEは垂直二等分線である。
:おなじく、頂点Cから辺ABまたはその延長上に降ろした垂線CFについても、同様のことが成り立ち、線分CFは垂直二等分線である。
三角形の3辺の垂直二等分線は一点で交わるので、
なので、つまりAD,BE,CFの交点は、△RQPの外心を書くための垂直二等分線に一致する。
すなわち△ABCの各頂点から対辺に引いた3本の垂線 AD,BE,CF は一点で交わる。
==== 三角形の角の2等分線と辺の比 ====
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