「中学数学1年 データの活用」の版間の差分

たとえば、エンピツの長さを{{ruby|定規（|じょうぎ）}}で測定してみて、測定値が 8.5 ミリメートル5cmという結果だとしても、

そのエンピツの長さは、8.51ミリメートル51cmかもしれないし、8.49999ミリメートル49999cmかもしれないし、ピッタリと長さが8.5000000000000000000000000000000000000000000000・・・・500000000000000000000000000000000000000000…cm ミリメートルなのかは不明です。

つまり、人類の測定の方法では、長さや重さなどの量については、どんなに精度の良い密な測定をしても、本当の測定値を知ることはできません。

:※ ある市町村の人口とかの人など、必ず自然数とにしか、誰かが持ってならないる ある物 の個数もの測定などなら、真の値を知ることができる場合もある。

測定値のように、真の値に近い数値のことを'''{{ruby|近似値'''（|きんじち、}}'''(英：approximate value アプロキシメト・バリュー）)といいます。

:（※(※ 「測定値」とは、実際に量を測定して得られた値。）のことです)

小学校で<math>\pi</math>の代わりに円周率として用いるていた 3.14 も近似値です。

（(長さや重さなどの測定値だけでなく、）)そのほか、四則計算の計算結果などでも、真の値に近い数値のことを近似値といいます。

たとえば <math>40 \div 7</math> を計算すると、5.174……と割り切れないません。そこで、四捨五入して小数第23位まで求めるとを四捨五入すると5.17となるります。

また、小学校でならった{{ruby|概数（|がいすう）}}も、近似値である。

:（(概数（がいすう）とは、大きな数の概数なら、たとえば、ある市町村の人口が19763人だったときに、たとえば20000人などと近似した数のこと。）)

また、近似値から 真の値 を引いたものを '''{{ruby|誤差|ごさ}}''' （ごさ）といいます。

:;（(誤差）) ＝ （(近似値）－（)－(真の値）)

であるす。

ある市町村の人口が正確には19763人だが、これを20000人と近似した。このときの誤差を求めよなさい。

（答え） 「－237 人 」または 「マイナス237人」

=== {{ruby|有効数字（|ゆうこうすうじ）}} ===

==== 数値のケタの{{ruby|信頼|しんらい}}性と計算 ====

:※ このよういうな意義の説明は、たぶんおそらく中学の数学では{{ruby|範囲|はんい}}外です。数学の教科書では説明が見当たらない。ただし、中学2年の理科で、似たような事を習う。（(中2の理科の巻末などにあるコラム的のような章に有効数字の性質や意義が書いてある)。） 中2の理科のほうで中2で、有効数字どうしを含む数の、かけ算と割り算を習うはずです。

たとえば、重さ計 はかりA で、ある物（仮にAとしよう） Xの重さを調べた結果、重さは「30g」とされる、ある物がであったとしようする。

この物 AX を121個あつめたときの重さは、どんれだけ信用できるだろうか？。

まず、{{ruby|市販|しはん}}の重さ計 には、あまり精度（せいど）の高くない計器もあり、あまり細かい数字は、信用できない。（(たとえば、体重計で1円玉の重さを調べても、まったく反応しないだろう)。）

仮に、われわれの、この問題で使っている重さ計の精度 はかりA が、10gまでの精度でしか細かく調べられない 重さ計 だったとしよう。

10グラムの精度しかない重さ計 はかりB で調べた結果「30g」と出いう結果が得られた重さの数字が冒頭の、上から1ケタ目の「3」しか信用できない物を、そんな121個というふうに3ケタも掛け算して合計の重さを知ろうとすることに、日常生活で、そんなに意義があるだろうか？

こういうふのように、計器の精度が良くない場合には、あまり細かい数字を計算しても、無駄である場合が多い。

なのですから、冒頭で「この物 A を121個あつめたときの重さは、」という問題を出しについてみ考えてきたが、実用的には、せいぜい「この物 A を'''120'''個あつめたときの重さ」くらいを考えればよいか、または、もっと{{ruby|大胆（|だいたん）\}}に「この物 A を'''100個'''あつめたときの重さ」が分かれば日常生活では{{ruby|充分（|じゅうぶん）な}}であることもが多い。

さきほどの議論考え方を整理するために、まず用語を新しく紹介する学ぼう。

数近似値がある場合に、実際の数字がその表示どとおりにピッタリと{{ruby|一致|いっち}}しているだろうと信頼できるケタの数を '''{{ruby|有効数字'''（|ゆうこうすうじ、}}'''(英：significant figures シグニフィキャント・フィギュアーズ）) という。

たとえば、100g精度の重さ計（ はかりに重さ計 B とする）で調べた結果の重さが「2400g」の物ならば、有効数字は2ケタである。（(「2400」の上2ケタの「24」が信用できるので。）ため)

のように、小数と指数をつかって、小数のがわ部分を有効数字のケタの分だけ表す。たとえば「2.4」は、「2」「4」で合計3ケタである。

また、有効数字の記法では、小数の部分は、整数の位（(例では「2」の部分）が1ケタである。有効数字の記法での指数の部分は、10の何{{ruby|累乗か|るいじょう}}の形で表す。

のように、単位を必要に応じて、末尾など単位を後に、おぎなってもいい。

単に「2400」だけのみだと、重さの精度1gの べつの重さ計（はかりに重さ計Cとする）の結果なのか、それとも重さの精度10gの重さ計（はかりに重さ計Dとする）の結果なのか、ましてやそれ以外のはかりなのか、区別がつかない。

のように、小数の部分が有効数字のぶんケタ数（(例の場合は4ケタ）)になる。

この「1600」を、有効数字をに注意識して、指数と小数の表記に書き換えよなおしなさい。

:（解法(考え方と答え）)

'''注意'''：<math> {10}^{-11} </math>とは<math> \frac{1}{{10}^{11}} </math>と言いう意味です。詳しくは[[高等学校数学II いろいろな関数#指数法則|高等学校数学]]の範囲である。

;天文学的いろいろな数の近似値

地球から太陽までの距離は「<big>149600000 km</big>」とあらわされる場合がある。もし有効数字が上4ケタぶんの 1,4,9,6 だとした場合、この（(地球から太陽までの）)距離を、10の累乗の指数をつかった有効数字の表記になおしなさい。

一般的に10の整数乗に掛けられる数字は''1以上10未満''の数である。これを用いると<math> 946 \times {10}^{13} </math>は<math> 9.46 \times {10}^{15} </math>となり、<math> 25 \times {10}^{-11} </math>は<math> 2.5 \times {10}^{-10} </math>と書き換えられる。

有効数字の桁数は上から何桁目で四捨五入されているかを表す大事な記述である。20.5を例に取るならば、この数の有効桁数は3であるので小数第2位で四捨五入されている。故にそのため、20.45以上20.55未満の範囲であることを表す。逆も同じで、20.5を有効桁数2としたければ小数第1位を四捨五入し21と表せばよい。

また10mは1000cmであるが「1000cm」のように書くと有効数字の桁数がいくらなのかは判断しにくい。有効数字の桁数をはっきりさせたい場合は例えば左の例をで有効数字2桁とするならば<math> 1.0 \times {10}^{3} </math>cmとすることが必要となる。

以下の資料1は10人の体重を測定した順番に並べてたものである。