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「高等学校数学III/積分法」の版間の差分

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積分法"
 
78 行
</math>
を考える。
 
ここで、
<math>
88 ⟶ 89行目:
</math>
が成り立つことを考慮すると、
{|
<math>
|-
\int t^2 \frac {dt} a
|<math>\int t^2 \frac {dt} a</math>
</math>
|<math>=\frac{ t^3} {3a} + C</math>
<math>
|-
=\frac{ t^3} {3a} + C
|
</math>
|<math>=\frac{ (ax+b)^3} {3a} + C</math>
<math>
|}
=\frac{ (ax+b)^3} {3a} + C
</math>
となることがわかる。
 
実際この式をxで微分すると
<math>
103 ⟶ 104行目:
</math>
と一致することが分る。
 
(置換積分を使わずに計算することも出来る。
置換積分を使わずに計算することも出来る。
<math>
{|
\int (ax+b)^2 dx
|-
</math>
|<math>\int (ax+b)^2 dx</math>
<math>
|<math>=\int (a^2x^2+2abx +b^2) dx</math>
|-
</math>
|
<math>
|<math>= \frac {a^2} 3 x^3 +abx^2 +b^2x + C'</math>
|-
</math>
|
<math>
|<math>= \frac {a^2} 3 x^3 +abx^2 +b^2x + \frac {b^3} {3a} +C</math>
|}
</math>
(<math>C'=\frac {b^3} {3a} +C</math>と置き換えた。)
(
 
<math>
C'<math>=\frac { (ax+b)^3} {3a} + C</math>
</math>
と置き換えた。
)
<math>
=\frac{ (ax+b)^3} {3a} + C
</math>
となり確かに一致する。
 
133 ⟶ 128行目:
取りだして積分すると、うまく積分できる場合がある。
実際には
<math>\int f(x) g'(x) dx = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x) dx</math>
<math>
\int f(x) g'(x) = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x)
</math>
で与えられる。
 
160 ⟶ 153行目:
 
例えば、
{|
<math>
|-
\int x (ax+b)^3 dx
|<math>\int x (ax+b)^3 dx</math>
|<math>=\int x (\frac {(ax+b)^4} {4a} )' dx</math>
について、
|-
<math>
|
=\int x (\frac {(ax+b)^4} {4a} )' dx
|<math>=x (\frac {(ax+b)^4} {4a} )- \int (x)' \frac {(ax+b)^4} {4a} dx</math>
</math>
|-
<math>
|
=x (\frac {(ax+b)^4} {4a} )- \int (x)' \frac {(ax+b)^4} {4a} dx
|<math>=x (\frac {(ax+b)^4} {4a} )- \int (x)' \frac {(ax+b)^4} {4a} dx</math>
</math>
|-
<math>
|
=x (\frac {(ax+b)^4} {4a} )- \int (x)' \frac {(ax+b)^4} {4a} dx
|<math>=x (\frac {(ax+b)^4} {4a} )- \int \frac {(ax+b)^4} {4a} dx</math>
</math>
|-
<math>
|
=x (\frac {(ax+b)^4} {4a} )- \int \frac {(ax+b)^4} {4a} dx
|<math>=x (\frac {(ax+b)^4} {4a} )- \frac {(ax+b)^5} {20a^2} </math>
</math>
|}
<math>
=x (\frac {(ax+b)^4} {4a} )- \frac {(ax+b)^5} {20a^2}
</math>
が得られる。
 
 
=== いろいろな関数の積分===
 
====多項式関数の積分====
 
<math>n \ne -1</math>のとき、<math>(\frac{1}{n+1} x^{n+1})'=x^n</math>なので、
 
<math>\int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C</math>
 
<math>n = -1</math>のとき、<math>(\log |x| )' = \frac{1}{x} = x^{-1}</math>なので、
 
<math>\int x^{-1} dx = \int \frac {1}{x} dx = \log |x| + C</math>
 
が成り立つ。
 
====三角関数の積分====
 
*<math>(\sin x )' = \cos x</math>
<math>
*<math>(\sincos x )' = -\cossin x</math>
*<math>(\tan x )' = \frac{1}{\cos^2 x}</math>
</math>,
<math>
(\cos x )' = -\sin x
</math>,
<math>
(\tan x )' = 1 / \cos^2 x
</math>
が成り立つことを考慮すると、
 
<math>
*<math>\int \sincos x dx = - \cossin x + C</math>
*<math>\int \sin x dx = - \cos x + C</math>
</math>,
*<math>\int \frac{1}{\cos^2 x } dx = \tan x + C</math>
<math>
\int \cos x dx= \sin x + C
</math>,
<math>
\int \frac 1 {\cos^2 x } dx = \tan x + C
</math>
となることが分る。
 
====指数・対数関数の積分====
 
指数関数について
<math>(e^x )' = e^x</math>
(e^x )' = e^x
</math>
が成り立つことを用いると、
<math>\int e^x dx = e^x + C</math>
<math>
\int e^x dx = e^x + C
</math>
が得られる。
 
また、<math>\log x</math>の
<!--
%
%対数関数については
%\be
%(\ln x )' = 1/x
%\ee
%が成り立つことを用いると、
%\be
%\int \frac 1 x = \ln x
%\ee
%が成り立つ。
%?? \ln |x| ??
%
-->
 
また、<math>\ln x</math>の
原始関数も求めることが出来る。
{|
<math>
|<math>\int \lnlog x dx </math>
|<math>=\int (x)' \log x dx </math>
</math>
|-
<math>
|
=\int (x)' \ln x dx
|<math>=x \log x -\int x (\log x)' dx </math>
</math>
|-
<math>
|
=x \ln x -\int x (\ln x)' dx
|<math>=x \log x -\int x \frac 1 x dx </math>
</math>
|-
<math>
|
=x \ln x -\int x \frac 1 x dx
|<math>=x \log x -\int dx </math>
|-
<math>
|
=x \ln x -\int dx
|<math>=x \log x -x + C</math>
|}
<math>
=x \ln x -x + C
</math>
となる。
 
"https://ja.wikibooks.org/wiki/高等学校数学III/積分法" より作成