「線型代数学/固有値と固有ベクトル」の版間の差分
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基礎的と思える用語に英訳を併記した。例えば、「固有値 （eigen value）」など。 |
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このとき、<math> \bold v \in \ V (\bold v \neq \bold 0), \alpha \in \C </math> が
:<math>\ f(\bold v) = \alpha \bold v </math>
の関係をみたすとき、<math>\ \alpha </math> を''固有値'' （eigen value）、<math> \bold v </math> を''固有ベクトル'' （eigen vector）という。
40 行
<math>A \in \ M(n,\bold K)</math>に対して
:<math>\Phi_A(t) = \det(A - tI_n) = \pm (t - \alpha_1)^{\nu_1}(t - \alpha_2)^{\nu_2} \cdots (t - \alpha_r)^{\nu_r}</math>
を<math>\ A</math> の''固有多項式'' （eigen polynomial）という。また、<math>\nu_i (1 \leq i \leq r)</math> を <math>\alpha_i \in \C </math> の''重複度'' （multiplicity）という。
2番目の等式は代数学の基本定理より成り立つ。
70 行
====固有空間====
'''定義'''
<math>\ A \in \ M(n;\bold K) </math> の<math>\alpha \in \C </math> に対する''固有空間'' （eigen space）とは
:<math>E(\alpha) = (\bold x \in \C^n| (A - \alpha I_n)\bold x = \bold 0) = \ker(A - \alpha I_n) </math>
で表わされる部分空間のことである。
88 行
このとき、行列の場合と同様に、
:<math>\ f(\bold v) = \alpha \bold v </math>
を充たす<math> \bold v \neq \bold 0 </math> が存在する。<math>\ V </math> の恒等変換（identity transformation）を <math>\ I_V </math> とすると、
:<math>\ (f - \alpha I_V) (\bold v) = \bold 0 </math>
と変形できる。これは、<math> \ rank(f - \alpha I_V) < n </math> と同値である。<math> \ (f - \alpha I_V)</math> の表現行列は <math>\ A - \alpha I_n </math> であるから、 <math>\ rank (\ A - \alpha I_n) < n </math>
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