「機械工学/伝熱工学」の版間の差分
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この解説書は翻訳であり、元記事はイングリッシュ版ウィキブックスの記事『Heat Transfer/Introduction』などである。
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<math>\dot{q}=-k\frac{dT}{dx}</math>
あるいは
<math>\dot{Q}=-kA\frac{dT}{dx}</math>
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理想的な材料は'''黒体'''(black body)と呼ばれ、 放射率の値が1です。記号Aは放射物体の表面積であり、記号σ（シグマ）はステファン·ボルツマン定数(Stefan-Boltzmann constant) <math>\sigma=5.670\times10^{-8} W/(m^2 K^4)</math> として知られています。
== 伝導方程式 ==
三次元における熱バランスを行うためにフーリエの法則を用いて、以下の式は、その点の座標と経過時間に所定の時点で、システム内の温度に関連導出することができる。
:<math>{k}\left({\frac{{\partial ^2}T}{\partial {x^2}}+\frac{{\partial ^2}T}{\partial {y^2}} + \frac{{\partial ^2}T}{\partial {z^2}}}\right) = \rho\cdot C_p \cdot\frac{\partial {T}}{\partial t}</math>
導出には発熱が存在しないとみなし（発熱はx、y、zのおよびtの関数であり、発熱が存在する場合には微分方程式に加えられなければならない）、そして、時間または温度（この場合、彼らは派生物に取り込まれなければなりません）で、材料特性が変わらないと、仮定します。
=== 定常伝導 ===
フーリエの法則の条件のどれも時間に依存しないとき、私たちは、定常状態の伝導を持って、次の結果が得られる。
:<math>{k}\left({\frac{{\partial ^2}T}{\partial {x^2}}+\frac{{\partial ^2}T}{\partial {y^2}} + \frac{{\partial ^2}T}{\partial {z^2}}}\right) = 0</math>
==== 平板の壁 ====
壁を通しての伝熱は、温度が壁面の一方からの距離の関数である一次元の伝導問題である。仮定として、この壁の表面の残りの部分は一定温度であると仮定する。壁の表面からの熱伝達はそれらの定常状態温度を有するようになり、周囲の空気によって対流によって行われる <math> T_{1} </math> と <math> T_{2} </math> 、その表面上に。最後の温度で壁側の流体と仮定 <math> T_{1} </math> になる <math> T_{1 , \infin} </math> と熱伝導率を有し <math>h_{1}</math>、かつ温度が壁側にすること <math>T_{2}</math> にある<math> T_{2 , \infin} </math> 熱伝達係数と <math>h_{2}</math>、その <math>T_{1 , \infin} \ge T_{2 , \infin}</math>。仮定があることを意味する <math>h_{1} \ge h_{2}</math>。壁は、任意の熱エネルギーを格納しないので、より高温の表面からのすべての熱が冷却器の表面に伝導される。エネルギー保存はそれを指示
:<math>{{\nabla} ^ 2}T = 0</math>
このような場合には温度が位置によって異なるだけであるので、全く熱を発生させることがありません。壁面に通常のｘ軸の方向で同じことを1-Dケースに適用して、我々は次の結果を得る。
:<math>{-k}{\frac{{d^2}T}{d{x^2}}} = 0</math>
適切な境界条件を置いて方程式を解くと、（x=0で <math>T=T_1</math>であり、x = sで、<math>T=T_2</math>）私たちは、壁の厚さs内でTの線形変化を得る。
:<math>T(x) = (T_2 - T_1){\frac{x}{s}} + T_1</math>
それは壁内の温度プロフィールは表面からの距離とともに線形に変化すること方程式から明らかである。我々は、温度変化を持っているので、熱伝導率はフーリエの法則から計算することができる。
:<math>{q_s} '' = -k \frac{dT}{dx} = \frac{k}{s} (T_1 - T_2)</math>
これは、熱流束をxとは独立しており、定数であることを上記式から分かる。この例では、伝導問題を解決する標準的な方法を示す図である。まず、体内の温度プロファイルは、エネルギーの保存のための式を用います。温度方程式はフーリエの法則の方程式に差し込むことによって熱流束を解くために使用され、発見された。
一般的には、炉を建設するのに最適な温度に耐えることができる非常に低い熱伝導率を有する材料を持ちたい。実際には、我々は、高温材料が比較的高い熱伝導率を持つとわかります。このように、炉はいくつかの層（異なる材料の各々）から造られます。
熱損失が最小限であるように、我々は最適の厚みを見つけるために各々の材料の熱の故障温度を使うことができます。
各々の材料がその熱の故障温度で熱を受けなければならなくて、隣接した材料の熱の故障温度で熱を拒絶しなければならないのを見ることは、簡単です。
==== 中空円筒 ====
私たちは平板の壁のために使用したのと同じ仮定を使用してみましょう、この時を除いて、我々は無限に長い中空円筒を通しての伝熱を持っているときに何が起こるかを分析する。シリンダー内半径 R<sub>1</sub> 持つと外半径R<sub>2</sub>。内部の温度がTで一定のままであるという仮定の下に T<sub>1</sub>と外気温T<sub>2</sub>、ラプラス方程式は、まだ成立します。
:<math>{{\nabla} ^ 2}T = 0</math>
我々は円筒形状であるため、この時間は、しかし、それは、以下にラプラシアンを拡大する円筒座標を使用するのが最も理にかなっています：
:<math> {{\nabla} ^ 2}T = {1 \over r} {\partial \over \partial r}
\left( r {\partial T \over \partial r} \right)
+ {1 \over r^2} {\partial^2 T \over \partial \theta^2}
+ {\partial^2 T \over \partial z^2 }.
</math>
：シリンダーは無限に長いと対称であるので、方程式はに減少ので、Z及びθに関して偏微分はゼロです
:<math> {1 \over r} {\partial \over \partial r}
\left( r {\partial T \over \partial r} \right) =-q/k </math>
qはゼロとなる熱の発生がない場合に発熱がある場合、上記式は、有効である。境界条件と、この方程式を解くと T(R<sub>1</sub>) = T<sub>1</sub>とT(R<sub>2</sub>)=T<sub>2</sub>と私たちを示しています。
:<math> T(r) = \frac{T_2-T_1}{\ln{\frac{R_2}{R_1}}}(\ln(r)-\ln(R_1))+T_1 </math>
伝導のためにフーリエの法則にこれを代入すると、私たちを与える：
:<math> Q'' = \frac{-k(T_2-T_1)}{r\ln{\frac{R_2}{R_1}}} = \frac{k(T_1-T_2)}{r\ln{\frac{R_2}{R_1}}}=\frac{2k(T_1-T_2)}{\phi\ln{\frac{\phi_2}{\phi_1}}}</math>
気をつけてください、熱流は半径から独立していません。たとえば、シリンダー（円筒形の熱交換器を設計するとき)です。
今、私たちは無限に長くない有限長のシリンダーの近似値として、これを使用する方法を知っているように、単位長さ当たりの熱流束について、これを表現しましょう。我々は、シリンダの断面積が<math> A = 2{\pi}rL</math>だと知っています。：
:<math> Q' = \frac{Q}{L} =\frac{2{\pi}k(T_1-T_2)}{\ln{\frac{R_2}{R_1}}}=\frac{2{\pi}k(T_1-T_2)}{\ln{\frac{\phi_2}{\phi_1}}}</math>
したがって、単位長さ当たりの伝達された熱は密接半径の対数に関連している。
==== 多層伝導と類推 ====
多くの場合、伝導ではなく単一の平面壁または単気筒を介して行われますが、複数のプレーン層を介して、または同軸円筒を通して。例えば、現代の家の壁は、その断熱性を高めるためのいくつかの層で構成されていますので、我々は外部の顔に向かって内部から、次の成層を見つけることができます：
（1）内部塗装
（2）石膏
（3）レンガ、例えばporothermタイプ
（4）断熱材、ポリスチレンなど
（5）中空空間（空気が良い絶縁体である）
（6）再びレンガ、石膏や絵画
そこで、8層を有し、方程式の解
:<math>{-k}{\frac{{d^2}T}{d{x^2}}} = 0</math>
尊重されるより多くの境界条件があるため、より複雑になる。問題を解決するための簡単な方法は電気回路計算との類推であす：平らな壁のために、そして、空洞のシリンダーのためにQの両方の表現力を観察するならば、我々はこれらが以下のように記述することができることに注意してください。：
:<math>Q=G\Delta T=\frac{\Delta T}{R}</math>
ここでG（またはRを好む人もいる）は幾何学的な形状に依存し、伝導率kを含んでいる。この手法は、オームの法則の類推です。
:<math>I=\frac{\Delta V}{R}</math>
したがって、熱伝導問題をモデル化することができる熱抵抗（又は熱伝導つが好む場合は、G = 1 / R）：それぞれの熱抵抗は、そのノード上の異なる温度に維持されているオブジェクトであるため、熱がそれを通過し、同様にして、我々は電気抵抗に電圧の違いを適用した場合、それを介して電流が流れる。それは、直列に接続された抵抗の方式として、多層問題をモデル化することができるので、この類推が有用である。実際には、電気抵抗がBのエンドノードに直列に接続されている場合Bの開始ノードと同じ電圧である熱抵抗は（壁の層）が直列に接続されている場合（隣接する）熱抵抗B（他の層）に、共通ノード（インターフェイス）上では、温度勾配であるはずがありません。正しくは第i番目の平らな壁：
:<math>R_i=\frac{s_i}{k_iA_i}</math>
ここで、A壁部の領域である。だから我々は：
:<math>Q=\frac{T_{ext}-T_{int}}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}R_i}</math>
同軸中空円筒（例えば絶縁パイプ）のために、我々は同じ式を使用できますが、抵抗値は次式で与えられます。
:<math>R=\frac{\ln\frac{\phi_2}{\phi_1}}{2\pi kL}</math>
==== 有限差分法 ====
有限差分法では、代数式と微分項を推定することにより、微分方程式を解こうとします。方法は、四角形（デカルト座標）、シリンダー（円筒座標）、または球体（球面座標）に分けることができ、単純な幾何学的形状に最適です。そうでなければ、有限要素法を使用すべきである。有限差分法を用いることができる場合には、いくつかの精度を犠牲にし、有限要素法よりも実装がかなり容易である。
一次微分のための最も簡単な見積もり、
:<math> \frac{\partial x}{\partial y} = \frac{\Delta x}{\Delta y}</math>
なお、この近似を用いることにより生じる誤差は、 <math> {\Delta y}^2 </math> にほぼ比例することを示すことができる。
二次導関数を推定するためには、一次導関数の導関数として扱われ、上記の近似が連続して2回印加される。
:<math> \frac{\partial^2 x}{{\partial y}^2} =
\frac{{(\frac{\partial x}{\partial y}})_2-(\frac{\partial x}{\partial y})_1}{\Delta y} =
\frac{(\frac{\Delta x}{\Delta y})_2 - (\frac{\Delta x}{\Delta y})_1}{\Delta y}
=\frac{x_3-2x_2+x_1}{{\Delta y}^2}
</math>
一次導関数を推定するのに2点だけが必要であるのに対し、二次導関数を推定するには3点が必要であることが明らかである。この特定の方法でも、<math> {\Delta y}</math>の二次であることを示すことができる 。
== 過渡伝導 ==
過渡伝導の問題では、完全なフーリエの方程式を解かなければならない。
:<math>{k}\nabla^2T = \rho\cdot C_p \cdot\frac{\partial {T}}{\partial t}</math>
この方程式の解は、定常状態方程式より困難であるが、それは単純なケースならば可能である。そうでなければ、数値法を用いるべきである。
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