「線型代数学/逆行列」の版間の差分
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この章では逆行列の性質について議論する。
なお、行列の四則演算（和、積
==逆行列の定義==
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===逆行列であるための条件===
{{定理|1.1.4}}
次のうちどちらかの条件（<math>\ AX = I_n </math> または <math>XA = I_n </math>）が成り立てば、<math> \ A</math> は正則であり、<math> \ X </math>は <math> \ A </math>の逆行列である。
{{定理終わり}}
証明は後述する。（定理1.1.4の証明の手段として、まず、これから説明する定理1.1.5と補題1.1.6を先に証明する。）
===逆行列に関する演算===
66 ⟶ 65行目:
<math>\ C </math>の逆行列である。したがって、<math>\ C </math>は正則。□</div></div>
それでは、定理1.1.4を証明することにする。
<div class="NavFrame" style="margin: 1em auto; width: 93%; clear: both; background: #f9f9f9; border: 1px #aaaaaa solid; border-collapse: collapse;">
<div class="ProofHead" align="left" style="font-size:120%; padding-left:1em; font-weight: bold; background: #efefef; position:relative;">定理1.1.4の証明</div>
94 ⟶ 93行目:
==逆行列の求め方==
===方法===
以下の文で説明するが、まず、正則行列は基本行列の積で表わせる。また、正則行列は左基本変形だけで（もしくは右基本変形だけで）単位行列に変形できる。
行列<math> \ A \in M(n;\bold K) </math> が正則であるとする。このとき、▼
:<math>\ PAQ = I_n </math>
をみたす基本行列の積の行列 <math>\ P \in M(n; \bold K) </math>と <math>\ Q \in M(n; \bold K) </math>とが、それぞれ存在する。<math>\ P, \ Q </math>は、それぞれ正則だから
:<math>\ A = P^{-1}Q^{-1}</math> ,および <math>\ A^{-1} = QP </math>
が成り立つ。基本行列の逆行列は基本行列であるから、以上の考察より正則行列は基本行列の積で表わせることが
すなわち、正則行列は左基本変形だけで（もしくは
以上のことから次の定理が成り立つ。
{{定理|1.1.7}}
仮に行列<math>\ A \in \ M(n; \bold K) </math> が正則行列のとき、
:<math>\begin{pmatrix} \ A & \ I_n \\ \end{pmatrix} </math>
を左基本変形することで以下の行列を得たとする。
113 ⟶ 114行目:
===例題===
<math>\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\ 1 & 1& 1\\ -2 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}</math> の逆行列を求めよ。<br /><br />
<math>\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1& 1 & 0 & 1 & 0\\ -2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}</math>▼
（第2行の-2倍を第1行に、2倍を第3行に加える）<math> \longrightarrow \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 & 1 & -2 & 0\\ 1 & 1& 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 3 & 0 & 2 & 1\\ \end{pmatrix}</math>▼
（第2行と第1行を入れ替える）<math>\longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & -1 & 1 & -2 & 0\\ 0 & 2 & 3 & 0 & 2 & 1\\ \end{pmatrix}</math>▼
（第2行を第1行に加え、第2行の2倍を第3行に加える）<math>\longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & -1 & -1 & 1 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 2 & -2 & 1\\ \end{pmatrix}</math>▼
解法の手順<br />
（第3行を第2行に加え、さらに第2行を－1倍する）<math>\longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -3 & 4 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 2 & -2 & 1\\ \end{pmatrix}</math>▼
▲# まず <math>\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1& 1 & 0 & 1 & 0\\ -2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}</math> を用意する。
▲# （第2行の-2倍を第1行に、2倍を第3行に加える）<math> \longrightarrow \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 & 1 & -2 & 0\\ 1 & 1& 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 3 & 0 & 2 & 1\\ \end{pmatrix}</math>
▲# （第2行と第1行を入れ替える）<math>\longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & -1 & 1 & -2 & 0\\ 0 & 2 & 3 & 0 & 2 & 1\\ \end{pmatrix}</math>
▲# （第2行を第1行に加え、第2行の2倍を第3行に加える）<math>\longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & -1 & -1 & 1 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 2 & -2 & 1\\ \end{pmatrix}</math>
▲# （第3行を第2行に加え、さらに第2行を－1倍する）<math>\longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -3 & 4 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 2 & -2 & 1\\ \end{pmatrix}</math>
よって逆行列は、<math>\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\ -3 & 4 & -1\\ 2 & -2 & 1\\ \end{pmatrix}</math>
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