線型代数学/クラメルの公式

線型代数学/線型方程式の解では、未知数がn個、方程式の数が、m個である線形方程式の解について学んだが、ここでは、未知数が、n個、方程式の数がn個である線形方程式の解について学ぶ。

クラメルの公式

${\begin{cases}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\cdots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\cdots +a_{2,n}x_{n}=b_{2}\\\vdots \\a_{n,1}x_{1}+a_{n,2}x_{2}+\cdots +a_{n,n}x_{n}=b_{n}\end{cases}}$

という、線形方程式は、 $\ A={\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&\cdots &a_{n,n}\\\end{pmatrix}},\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}},\mathbf {b} ={\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}$ を用いて、

$\ A\mathbf {x} =\mathbf {b}$と表すことができる。

クラメルの公式とは、 行列Aのj列目が$\mathbf {b}$になっている行列$A_{j}={\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,j-1}&b_{1}&a_{1,j+1}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&\cdots &a_{2,j-1}&b_{2}&a_{2,j+1}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&\cdots &a_{n,j-1}&b_{n}&a_{n,j+1}&\cdots &a_{n,n}\\\end{pmatrix}}$を用いて、

この線形方程式の解は、$x_{j}={\frac {|A_{j}|}{|A|}}$である。というものである。

証明

この線形方程式は、$\ A\mathbf {x} =\mathbf {b}$と表すことができる。 $A^{-1}$を左からかければ、$\mathbf {x} =A^{-1}\mathbf {b}$である。
線形代数学/余因子行列で求めた式$A^{-1}={\frac {\tilde {A}}{|A|}}$ を用いれば、$\mathbf {x} ={\frac {\tilde {A}}{|A|}}\mathbf {b}$
$\mathbf {x} ={\frac {1}{|A|}}{\begin{pmatrix}{\tilde {a}}_{1,1}&{\tilde {a}}_{2,1}&{\tilde {a}}_{3,1}&\cdots &{\tilde {a}}_{n,1}\\{\tilde {a}}_{1,2}&{\tilde {a}}_{2,2}&{\tilde {a}}_{2,3}&\cdots &{\tilde {a}}_{n,2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\tilde {a}}_{n,1}&{\tilde {a}}_{n,2}&{\tilde {a}}_{n,3}&\cdots &{\tilde {a}}_{n,n}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}$
展開すれば、 $\mathbf {x} ={\frac {1}{|A|}}{\begin{pmatrix}b_{1}{\tilde {a}}_{1,1}+b_{2}{\tilde {a}}_{2,1}+b_{3}{\tilde {a}}_{3,1}+\cdots +b_{n}{\tilde {a}}_{n,1}\\b_{1}{\tilde {a}}_{1,2}+b_{2}{\tilde {a}}_{2,2}+b_{3}{\tilde {a}}_{3,2}+\cdots +b_{n}{\tilde {a}}_{n,2}\\\vdots \\b_{1}{\tilde {a}}_{n,1}+b_{2}{\tilde {a}}_{n,2}+b_{3}{\tilde {a}}_{n,3}+\cdots +b_{n}{\tilde {a}}_{n,n}\\\end{pmatrix}}$
この行列のj行目は、$x_{j}=b_{1}{\tilde {a}}_{1,j}+b_{2}{\tilde {a}}_{2,j}+\cdots +b_{n}{\tilde {a}}_{n,j}$なので、左辺のj行目は、行列Aのj列目が$\mathbf {b}$になっている行列 $A_{j}={\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,j-1}&b_{1}&a_{1,j+1}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&\cdots &a_{2,j-1}&b_{2}&a_{2,j+1}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&\cdots &a_{n,j-1}&b_{n}&a_{n,j+1}&\cdots &a_{n,n}\\\end{pmatrix}}$ をj列目で、余因子展開したものと一致する。
よって、$x_{j}={\frac {|A_{j}|}{|A|}}$である。

演習問題

以下の一次連立方程式を解け。

(1) ${\begin{cases}ax+by=c\\dx+ey=f\end{cases}}$

(2)${\begin{cases}x+y+z=1\\ax+by+cz=d\\a^{2}x+b^{2}y+c^{2}z=d^{2}\end{cases}}$($a,b,c$ は互いに異なる実数)

解答・解説

(1) $ae-bd\neq 0$ のとき、クラメルの公式より、$x={\frac {ce-bf}{ae-bd}},y={\frac {af-cd}{ae-bd}}.$$ae-bd=0$ の場合は、$bf-ce=0$ のときのみ解が存在し、その解は $ax+by=c$ を満たす $(x,y)$ 全体。

(2) クラメルの公式から、行列式はすべてヴァンデルモンドの行列式となるから、$x={\frac {(c-b)(c-d)(b-d)}{(c-b)(c-a)(b-a)}},y={\frac {(c-d)(c-a)(d-a)}{(c-b)(c-a)(b-a)}},z={\frac {(d-b)(d-a)(b-a)}{(c-b)(c-a)(b-a)}}$