線型代数学/クラメルの公式

線型代数学/線型方程式の解では、未知数がn個、方程式の数が、m個である線形方程式の解について学んだが、ここでは、未知数が、n個、方程式の数がn個である線形方程式の解について学ぶ。

クラメルの公式編集

 

という、線形方程式は、   を用いて、

 と表すことができる。

クラメルの公式とは、 行列Aのj列目が になっている行列 を用いて、

この線形方程式の解は、 である。というものである。


証明


この線形方程式は、 と表すことができる。  を左からかければ、 である。
線形代数学/余因子行列で求めた式  を用いれば、 
 
展開すれば、  
この行列のj行目は、 なので、左辺のj行目は、行列Aのj列目が になっている行列   をj列目で、余因子展開したものと一致する。
よって、 である。

演習問題編集

以下の一次連立方程式を解け。

(1)  

(2) 

解答・解説編集

(1)  

(2)