高等学校物理/万有引力

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歴史

★公転周期Ｔと軌道長半径α

mg=G{\frac {Mm}{R^{2}}}

変形して

$g={\frac {GMm}{R^{2}m}}$

$g={\frac {GM}{R^{2}}}$

GM=gR^{2}

●証明

運動方程式（質量×加速度＝力）を使って導きます。

m{\vec {a}}={\vec {F}}

人工衛星は地球の周りを回っているので、円運動の加速度（加速度＝速度×速度÷半径）になります。

a={\frac {v^{2}}{r}}

力については、万有引力の公式（力＝万有引力定数×大きい方の質量×小さい方の質量÷［距離×距離］）を使います。

F=G{\frac {Mm}{r^{2}}}

以上を１つにまとめます。

m{\frac {v^{2}}{r}}=G{\frac {Mm}{r^{2}}}

ここから先はvを求めるために変形します。

v^{2}{\frac {m}{r}}=G{\frac {Mm}{r^{2}}}

移項します。移項すると割り算になりますが、掛け算に直すために逆数にしてみましょう。

v^{2}=G{\frac {Mmr}{r^{2}m}}

約分して

v^{2}=G{\frac {M}{r}}

平方根を付けて、

v={\sqrt {\frac {GM}{r}}}

になります。

★証明１

無限等比級数を使います。こちらの方が初学者に分かりやすいかもしれません。

W=-G{\frac {Mm}{r}}

U=-G{\frac {Mm}{r}}

★証明２

一般的な証明をします。面積に関する数学単元（積分）を使うので、難しい証明方法になります。

$W=\int _{\infty }^{r}G{\frac {Mm}{r^{2}}}dr$

$W=GMm\int _{\infty }^{r}{\frac {1}{r^{2}}}dr$

$W=GMm\int _{\infty }^{r}{r^{-}2}dr$

$W=GMm\int _{\infty }^{r}[{\frac {1}{-2+1}}r^{-2+1}]$

$W=GMm\int _{\infty }^{r}[{\frac {1}{-1}}r^{-1}]$

$W=GMm\int _{\infty }^{r}[-{\frac {1}{r}}]$

$W=GMm\left(-{\frac {1}{r}}-0\right)$

$W=-G{\frac {Mm}{r}}$

$U=-G{\frac {Mm}{r}}$