高等学校 物理/万有引力

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惑星の運動

★公転周期Ｔと軌道長半径α

惑星	Ｔ（年）	α（天文単位）
水星	0.241	0.387
金星	0.615	0.723
地球	1	1
火星	1.88	1.52
木星	11.9	5.20
土星	29.5	9.55
天王星	84	19.2
海王星	165	30.1

重力

$mg=G{\frac {Mm}{R^{2}}}$

変形して

$g={\frac {GMm}{R^{2}m}}$

$g={\frac {GM}{R^{2}}}$

$GM=gR^{2}$

人工衛星

●証明

運動方程式（質量×加速度＝力）を使って導きます。

$m{\vec {a}}={\vec {F}}$

人工衛星は地球の周りを回っているので、円運動の加速度（加速度＝速度×速度÷半径）になります。

$a={\frac {v^{2}}{r}}$

力については、万有引力の公式（力＝万有引力定数×大きい方の質量×小さい方の質量÷［距離×距離］）を使います。

$F=G{\frac {Mm}{r^{2}}}$

以上を１つにまとめます。

$m{\frac {v^{2}}{r}}=G{\frac {Mm}{r^{2}}}$

ここから先はvを求めるために変形します。

$v^{2}{\frac {m}{r}}=G{\frac {Mm}{r^{2}}}$

移項します。移項すると割り算になりますが、掛け算に直すために逆数にしてみましょう。

$v^{2}=G{\frac {Mmr}{r^{2}m}}$

約分して

$v^{2}=G{\frac {M}{r}}$

平方根を付けて、

$v={\sqrt {\frac {GM}{r}}}$

になります。

万有引力の位置エネルギー

★証明１

無限等比級数を使います。こちらの方が初学者に分かりやすいかもしれません。

$W=-G{\frac {Mm}{r}}$

$U=-G{\frac {Mm}{r}}$

★証明２

一般的な証明をします。面積に関する数学単元（積分）を使うので、難しい証明方法になります。

$W=\int _{\infty }^{r}G{\frac {Mm}{r^{2}}}dr$

$W=GMm\int _{\infty }^{r}{\frac {1}{r^{2}}}dr$

$W=GMm\int _{\infty }^{r}{r^{-}2}dr$

$W=GMm\int _{\infty }^{r}[{\frac {1}{-2+1}}r^{-2+1}]$

$W=GMm\int _{\infty }^{r}[{\frac {1}{-1}}r^{-1}]$

$W=GMm\int _{\infty }^{r}[-{\frac {1}{r}}]$

$W=GMm\left(-{\frac {1}{r}}-0\right)$

$W=-G{\frac {Mm}{r}}$

$U=-G{\frac {Mm}{r}}$

資料出所

• 『改訂　物理』、東京書籍、2020年(2017年検定)
• 『物理　改訂版』、新興出版社啓林館、2020年(2017年検定)
• 『高等学校 改訂　物理』、第一学習社、2020年(2018年検定)
• 『高校の物理が1冊で丸ごとわかる』小川慎一郎著　2022年 ベレ出版
• 『東京大学の先生伝授 文系のためのめっちゃやさしい 物理』松尾 泰著　2021年 ニュートンプレス
• 『始まりから知ると面白い物理学の授業』左巻 健男著　2020年　山と渓谷社
• 『チャート式シリーズ新課程　新物理 物理基礎・物理』都築嘉弘ほか著　2023年　数研出版