このページでは立体図形の表面積等の公式についての解説をします。

直方体の表面積

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直方体の底面積

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直方体の側面積

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立方体の表面積

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柱体の側面積

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直角三角錐(3直角四面体)

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直角三角錐(3直角四面体)

三角錐 において,1つの頂点 に集まる3つの角     がいずれも直角である三角錐を直角三角錐(3直角四面体)と定義し、 (ただし とする)であるものとする。

    より、この立体の各頂点は、  ,   ,   ,   とおける。
3点  切片 ,  切片 ,  切片 を通る平面 の式は、
 である。 - 初等数学公式集/解析幾何#平面の式参照
原点  と平面 の距離 :
 

三角錐 の体積を とすると、 

ここで、 の面積 とすると、 であり、従って、 
 


  • 両辺2乗すると、
     
     
    即ち、 が成立している。これは、三平方の定理を3次元空間に拡張したものと言えド・グアの定理通称「四平方の定理」と言われる。

球の表面積・冠形/球台の曲線部の表面積

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球の表面積

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  1. 球の体積より
     
    これを、 について微分すると、 
     
  2. 積分による方法
     である球から、 で切断した面を想定する。
    原点から成す角を として円周上の点 とし、 をわずかに 変化させた を考える。この時、 の距離は、 がわずかな値であるため、 に近似される。
    ここで、  軸を中心に回転させると、 各々が、周の長さ である帯状の図形を得、
    その面積は、 
     は微小で限りなく に近づくため、加算において としてよく、その結果、 とおける。
    ここで、 について、区間 で積分することにより、球の の部分の表面積が得られる。
        
      
    この球は について対称であり、 の部分の表面積も等しいので、 
     
    • 積分を使った誤答の例
       である球を考える。
       でこの球を切断すると、半径 である円; を得、この円; の円周は である。
      球の表面積は、この周に微細な幅 をかけた を区間 で累積したものであるから、その区間で積分することにより得られる。
        
       とおく、微分して 
      (与式)    
         
      となって、誤答を得る。これは、「周に微細な幅 をかけたもの(※)」の面積は、正しくは、 であって、括弧内後項の は積分において無視できなくなることの立式の誤りである。
         

冠形の曲線部の表面積

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球冠
  • 球冠(平面により切断された球の一部)の曲面部の表面積 :
    関係する諸数値を以下のものとする(右図参照)。
    • 球の半径  
    • 球冠の底の半径  
    • 球冠の高さ  
    • 球の中心から球冠の頂点(極)までの線と球冠の底を形作る円板の端との間の極角  
  1. 極角  が与えられている場合
    上記の球の表面積を積分を用い求める解法を用い、区間 で積分することで求められる。
       (※2)
  2.    が与えられている場合
     であるから、※2に代入して、   (※3)
  3.    が与えられている場合
     から、 
    ※3に代入して、   (※4)


球台の曲線部の表面積

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球台
  • 球台(球を1対の平行な平面で切断した立体/先端が切り取られた球冠)の曲面部(球帯)の表面積 :
    関係する諸数値等を以下のものとする(右図参照)。
    • もとの球の半径  、球の中心を 
    • 球台の底の各々の半径  、底の中心を各々 、直線 と球との交点を とする、なお の順に並ぶ。
    • 球台の高さ(2つの平行な底面間の距離)  
  1.    が与えられている場合
    1. 球を切断する平行な2平面の外に球の中心がある場合(ただし、 
      中心 の円が底である冠形について、高さ は、 
      ※4より、この冠形の曲面部表面積 は、    
      同様に、中心 の円が底である冠形の曲面部表面積 は、 
      求める球台の曲面部表面積は、これらの球冠の曲面部表面積の差であるから、
         (※5)
    2. 球を切断する平行な2平面の外に球の中心がある場合
       を通る と直行する平面で球を分割。
      中心 の円と分割によりできた円を各々底とする球台の曲面部表面積は、半球の曲面部表面積から中心 の円が底である冠形の局面部表面積を引いたものであるので、
        
      同様に 
      したがって、 (※6)
  2.    が与えられている場合
    以下により、 
    1. 点の順が である時、
       であるので、上の例同様、球台の底のうち、 を中心とする円の半径を  を中心とする円の半径を とすると、
       
      ※5に代入して、 
    2. 点の順が である時、
       であるので、上の例同様、球台の底のうち、 を中心とする円の半径を  を中心とする円の半径を とすると、
       
      ※6に代入して、 


円環体(トーラス)の表面積

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円環体・トーラス

半径 の円; を、円の中心からの距離 (但し、  ≦  とする)の直線を軸として回転させた円環体(トーラス、ドーナツ型)の表面積

 
体積の公式; に関して、半径 について微分することにより得られる。