このページでは立体図形の表面積等の公式についての解説をします。
三角錐 において,1つの頂点 に集まる3つの角 , , がいずれも直角である三角錐を直角三角錐(3直角四面体)と定義し、 (ただし とする)であるものとする。
- , , より、この立体の各頂点は、 , , , とおける。
- 3点 切片 , 切片 , 切片 を通る平面 の式は、
- である。 - 初等数学公式集/解析幾何#平面の式参照
- 原点 と平面 の距離 :
-
三角錐 の体積を とすると、
- ここで、 の面積 とすると、 であり、従って、
-
- 両辺2乗すると、
-
-
- 即ち、 が成立している。これは、三平方の定理を3次元空間に拡張したものと言えド・グアの定理通称「四平方の定理」と言われる。
- 球の体積より
-
- これを、 について微分すると、
-
- 積分による方法
- である球から、 で切断した面を想定する。
- 原点から成す角を として円周上の点 とし、 をわずかに 変化させた を考える。この時、 の距離は、 がわずかな値であるため、 に近似される。
- ここで、 を 軸を中心に回転させると、 各々が、周の長さ である帯状の図形を得、
- その面積は、
- は微小で限りなく に近づくため、加算において としてよく、その結果、 とおける。
- ここで、 について、区間 で積分することにより、球の の部分の表面積が得られる。
-
-
- この球は について対称であり、 の部分の表面積も等しいので、
-
- 積分を使った誤答の例
- である球を考える。
- でこの球を切断すると、半径 である円; を得、この円; の円周は である。
- 球の表面積は、この周に微細な幅 をかけた ※を区間 で累積したものであるから、その区間で積分することにより得られる。
-
- とおく、微分して
- (与式)
-
- となって、誤答を得る。これは、「周に微細な幅 をかけたもの(※)」の面積は、正しくは、 であって、括弧内後項の は積分において無視できなくなることの立式の誤りである。
-
- 球冠(平面により切断された球の一部)の曲面部の表面積 :
- 関係する諸数値を以下のものとする(右図参照)。
- 球の半径
- 球冠の底の半径
- 球冠の高さ
- 球の中心から球冠の頂点(極)までの線と球冠の底を形作る円板の端との間の極角
- 極角 が与えられている場合
- 上記の球の表面積を積分を用い求める解法を用い、区間 で積分することで求められる。
- (※2)
- と が与えられている場合
- であるから、※2に代入して、 (※3)
- と が与えられている場合
- から、
- ※3に代入して、 (※4)
- 球台(球を1対の平行な平面で切断した立体/先端が切り取られた球冠)の曲面部(球帯)の表面積 :
- 関係する諸数値等を以下のものとする(右図参照)。
- もとの球の半径 、球の中心を
- 球台の底の各々の半径 、底の中心を各々 、直線 と球との交点を とする、なお の順に並ぶ。
- 球台の高さ(2つの平行な底面間の距離)
- と が与えられている場合
- 球を切断する平行な2平面の外に球の中心がある場合(ただし、 )
- 中心 の円が底である冠形について、高さ は、
- ※4より、この冠形の曲面部表面積 は、
- 同様に、中心 の円が底である冠形の曲面部表面積 は、
- 求める球台の曲面部表面積は、これらの球冠の曲面部表面積の差であるから、
- (※5)
- 球を切断する平行な2平面の外に球の中心がある場合
- を通る と直行する平面で球を分割。
- 中心 の円と分割によりできた円を各々底とする球台の曲面部表面積は、半球の曲面部表面積から中心 の円が底である冠形の局面部表面積を引いたものであるので、
-
- 同様に
- したがって、 (※6)
- と が与えられている場合
- 以下により、
- 点の順が である時、
- であるので、上の例同様、球台の底のうち、 を中心とする円の半径を 、 を中心とする円の半径を とすると、
-
- ※5に代入して、
- 点の順が である時、
- であるので、上の例同様、球台の底のうち、 を中心とする円の半径を 、 を中心とする円の半径を とすると、
-
- ※6に代入して、