制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/Laplace 変換/指数位の関数

さて一般に，${\mathcal {L}}[f(t)]$ が存在するための十分条件は，導入章にも言及しておいたように， $f(t)$ が次の関係を満たすことである．すなわち $t$ が十分大きいところで，

(4.10)

$|f(t)|\leqq Me^{\alpha t}\quad (M,\alpha \in \mathbf {R} )$

となることである．このとき $f(t)$ を指数 $\alpha$ 位の関数ということは前にも述べた． $\alpha$ を特に意識する必要のないときは，$\alpha$ を省略して呼ぶことにする．

例93$\quad$

$f(t)$ が指数位の関数であるとき，$\mathrm {Re} \ f(t)$ も $\mathrm {Im} \ f(t)$ も指数位の関数であることを示せ．

解答例

$f(t)=g(t)+i\ h(t),\quad g(t)$ と $h(t)$ は実数を定義域とした実数値関数とすると，

$|f(t)|={\sqrt {\{g(t)\}^{2}+\{h(t)\}^{2}}}\leqq Me^{\alpha t}$

$\therefore {\frac {1}{e^{\alpha t}}}{\sqrt {\{g(t)\}^{2}+\{h(t)\}^{2}}}\leqq M$

${\sqrt {\left\{{\frac {g(t)}{e^{\alpha t}}}\right\}^{2}+\left\{{\frac {h(t)}{e^{\alpha t}}}\right\}^{2}}}\leqq M$

この式が成立するためには $\left\{{\frac {g(t)}{e^{\alpha t}}}\right\}$ と $\left\{{\frac {h(t)}{e^{\alpha t}}}\right\}$ の両方が有限の値に収束しなければならない．
すなわち，$g(t)=\mathrm {Re} \ f(t)$ と $h(t)=\mathrm {Im} \ f(t)$ の両方が指数位である必要がある．

$\diamondsuit$

$f(t)$ が指数位 $\alpha$ の関数であるとき，$\mathrm {Re} \ s>\alpha$ に対して，

$\lim _{T\to \infty }\int _{0}^{T}f(t)e^{-st}dt=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt$

が存在することは明らかである．事実，

$|f(t)e^{-st}|\leqq |f(t)|e^{-\sigma t}\leqq Me^{(\alpha -\sigma )t}$

で，$\sigma >\alpha$ のとき，

$\int _{0}^{\infty }e^{-(\sigma -\alpha )t}dt={\frac {1}{\sigma -\alpha }}<\infty$

であるから，複素数値関数の基本的性質Ⅴから ${\mathcal {L}}[f]$ の存在が保証されるのである．

例94$\quad$

$t^{n}e^{\alpha t}\quad (\alpha \in \mathbf {C} )$ は任意の $n$ に対して指数位の関数である．

事実，

$e^{x}>{\frac {x^{n}}{n!}}\quad (x>0)$

であるから，$\beta >\mathrm {Re} \ \alpha ,\quad t>0$ のとき，

$e^{(\beta -\mathrm {Re} \ \alpha )t}>{\frac {[(\beta -\mathrm {Re} \ \alpha )t]^{n}}{n!}}$

${\frac {n!}{(\beta -\mathrm {Re} \ \alpha )^{n}}}e^{\beta t}>t^{n}e^{(\mathrm {Re} \ \alpha )\cdot t}=|t^{n}e^{\alpha t}|$

したがって $t^{n}e^{\alpha t}$ の Laplace 変換が存在する．

$\int _{0}^{T}{\frac {t^{n}}{n!}}e^{\alpha t}e^{-st}dt={\bigg [}{\frac {-t^{n}e^{-(s-\alpha )t}}{n!(s-\alpha )}}{\bigg ]}_{0}^{T}+{\frac {1}{s-\alpha }}\int _{0}^{T}{\frac {t^{n-1}}{(n-1)!}}e^{\alpha t}e^{-st}dt$

であるから，$\mathrm {Re} \ s>\mathrm {Re} \ \alpha$ ならば，$T\to \infty$ のとき，

${\mathcal {L}}{\bigg [}{\frac {t^{n}}{n!}}e^{\alpha t}{\bigg ]}={\frac {1}{s-\alpha }}{\mathcal {L}}{\bigg [}{\frac {t^{n-1}}{(n-1)!}}e^{\alpha t}{\bigg ]}$

これを逐次繰り返すことによって，

${\frac {t^{n}}{n!}}e^{\alpha t}\sqsupset {\frac {1}{(s-\alpha )^{n+1}}}$

を得る．

$\diamondsuit$

補題 4.2$\quad$ $f(t)$ が指数位の関数ならば $\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau$ もそうである．

証明

複素数値積分の基本的性質Ⅳと式 (4.10) により，$t>0$ のとき，

$\left|\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau \right|\leqq \int _{0}^{T}|f(\tau )|d\tau \leqq M\int _{0}^{t}e^{\alpha \tau }d\tau$

$={\frac {M}{\alpha }}(e^{\alpha t}-1)\leqq M_{1}e^{\alpha t}$

ここに，$M_{1}:={\frac {M}{\alpha }}$ である．

$\diamondsuit$