利用者:ざっとの編集所/sandbox/解析学基礎概説

解析学は関数の変化量などの性質を調べる分野です。

基礎知識

数字はその性質で実数と虚数の大きく分けて二種類に分類分けが可能です。虚数は2乗すると-1になる$i$という記号を用いた数で、実数は虚数以外の数字です。

関数とは、ある値(引数)を定めると一つ数字(値)が決まる計算式のことです。引数をなめらかに動かしたとき値もなめらかに動くとき、関数はその区間において連続であるといいます。もちろん、逆にある引数で値が決まらない、なめらかに値を取らない非連続関数も存在します。

数列とは、数の並びのことです。

よく使う関数

ある数a,bを足し合わせることを$a+b$と書き表します。ある数aをb回足し合わせる、つまり掛け算を$a\times b$と書き表します。同様に、ある数aをb回かけ合わせることをべき乗といいそれを表す関数$a^{b}$を指数関数といいます。

$a^{n}=b$という指数関数を考えます。ここで掛け算に対する割り算のようにaを何回べき乗するとbになるかという関数を$\log _{a}b=n$と置いて、これを対数関数といいます。

三角関数

極限

関数の引数をある値に限りなく近づけることを、関数の極限を取るといいます。単に引数を定めるのと異なるのは、$f(x)={\frac {1}{x}}$のように特定の引数を取れない関数であっても付近の数値を引数に取ったときの振る舞いを調べられること、無限を引数に定められることがあげられます。ちなみに、上記の式を+0、正の値からスタートして0にゴールするという形で極限を取った場合、無限に発散するという結果が得られます。

数列にも極限を取ることができ、例えば$\cdots 1,2,3\cdots$という風に数字が順番に並んだ数列は無限に極限を取るとその数も極限となります。一方で、$2,{\frac {3}{2}},{\frac {4}{3}},\cdots 1+{\frac {1}{n}},\cdots$といった数列は無限に極限を取ると1となります。

微分

引数を$x$から$\Delta x$増やしたときに関数$f(x)$がいくつ増えるかは傾きといい、${\frac {f(\Delta x-x)-f(x)}{\Delta x}}$と表します。ちなみに、数学で$\Delta$は差を表すことが多いです。

関数は直線であることが少ないですが、ある点に関しての傾きを極限を取ることで求めることができます。つまり$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(\Delta x-x)-f(x)}{\Delta x}}$となります。これを微分といい、微小を表すdを用いて${\frac {df(x)}{dx}}$、もしくは$f'(x)$と表します。

定義通りの求め方で毎回計算することはかなり大変なので、一般的には公式を使います。以下はよく使う公式です。

$(x^{n})'=nx^{n-1}$

$(e^{x})'=e^{x}$

$(sin{x})'=cos{x}$

$(cos{x})'=-sin{x}$

$(log(x))'={\frac {1}{x}}$

また、多くの関数は複数の種類の組み合わせでできているので、以下の公式も使います。

$(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

$({\frac {f(x)}{g(x)}})'={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}$

${\frac {df(x)}{dx}}$のような微分が含まれる方程式を微分方程式といいます。

積分

積分は「ある関数とx軸との間の面積を求める操作」です。考え方としてはxがごくわずかだけ動いたときの長さとその時の関数の値からなる長方形を並べていくというものになりますが、実際に計算するときは関数を$f'(x)$として$f(b)-f(a)$がxの範囲がaからbのときの積分の値となるという手順で求めます。積分の操作を$\int _{a}^{b}f'(x)dx$と表します。

積分公式書く

関数の近似

関数は、aの周辺では$x^{n}$が無限に続く級数を用いて、以下のように表せます。

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+{\frac {f^{\prime \prime }(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{\prime \prime \prime }(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdot \cdot \cdot$

これをテイラー級数またはテイラー展開といいます。

形の繰り返しのある関数は、同じように三角関数を用いて以下のように表せます。

$f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }(a_{k}\cos kx+b_{k}\sin kx)$

$a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f\left(t\right)\cos nt\,dt,\left(n=0,1,2,3,\dots \right)$

$b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f\left(t\right)\sin nt\,dt,\left(n=1,2,3,\dots \right)$

これをフーリエ級数またはフーリエ展開といいます。