前項で述べたように,真の分数式は,
![{\displaystyle {\frac {A}{(s-\alpha )^{n}}},\quad {\frac {Bs+C}{(s^{2}+ps+q)^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4af88223dff384040b556e2184bd1f7d7b02ae85)
のような項の和であらわされた.ところで,
![{\displaystyle {\frac {Bs+C}{(s^{2}+ps+q)^{n}}}={\frac {B(s-\alpha )+D}{[(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2}]^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c70f8a73aac9e04ee884c7e9818f242ffc2591e6)
と変形できるから、真分数は、
![{\displaystyle {\frac {1}{(s-\alpha )^{n}}},{\frac {1}{[(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2}]^{n}}},{\frac {s}{[(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2}]^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6204b72bb56b131c25d3eabebfe160fe51d1aab6)
ような項の 1 次結合で表されることが分かる.これらの原像を求めることができれば,我々の問題は解けたことになるのである.
ところで 第一移動定理
![{\displaystyle f(t)\sqsupset F(s)\Longrightarrow f(t)e^{\alpha t}\sqsupset F(s-\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cffb1cb7318c694a23e7985e510aa57ea48ff983)
を想い起こせば,
![{\displaystyle {\frac {1}{s^{n}}},{\frac {1}{(s^{2}+\beta ^{2})^{n}}},{\frac {s}{(s^{2}+\beta ^{2})^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c851a0f1c5320610822030d0ebb0bd7458a2e2a5)
の原像が計算できればよい.第 1 のものの原像,および第 2, 第 3 のものの
に対する原像はすでに分かっているから,
![{\displaystyle {\frac {1}{(s^{2}+\beta ^{2})^{n}}},{\frac {s}{(s^{2}+\beta ^{2})^{n}}}\quad (n\geqq 3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bce390740a75b4edbc2000f4c6b8b4302e64819f)
の原像が求まればよいことになる.もっともこれらの原像は形式的には,
![{\displaystyle {\frac {1}{(s^{2}+\beta ^{2})^{n}}}\sqsubset \underbrace {{\frac {1}{\beta }}\sin \beta t*{\frac {1}{\beta }}\sin \beta t*\cdots *{\frac {1}{\beta }}\sin \beta t} _{n{\text{個}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/581dd71a74b8c8e1c57ab4d82904ba5cba948631)
および,
![{\displaystyle {\frac {s}{(s^{2}+\beta ^{2})^{n}}}\sqsubset \underbrace {{\frac {1}{\beta }}\sin \beta t*{\frac {1}{\beta }}\sin \beta t*\cdots *{\frac {1}{\beta }}\sin \beta t} _{n-1{\text{個}}}*cos\beta t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d91c78cc4469ef49407a816bf0f8c2fce6cd9012)
と知られているのであるが,この右辺の合成積を計算するのがやっかいである.その簡単な計算法が見つかればよい.
まず合成積の微分の公式,
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}(f*g)=f*{\frac {dg}{dt}}+g(0)f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7de2dbb80157116be3aa014c192e00f2a7ebb61)
を思い出そう.そうすれば
![{\displaystyle f_{n}(t):=\underbrace {{\frac {1}{\beta }}\sin \beta t*{\frac {1}{\beta }}\sin \beta t*\cdots *{\frac {1}{\beta }}\sin \beta t} _{n{\text{個}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd30fa54c0a86f1e113042af94ce248a215b4ee3)
とおくとき,
(2.32b)
[1]
となるから,
(2.32c)
![{\displaystyle {\frac {1}{(s^{2}+\beta ^{2})^{n}}}\sqsubset f_{n}(t)\Longrightarrow {\frac {s}{(s^{2}+\beta ^{2})^{n}}}\sqsubset {\frac {df_{n}(t)}{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a82295ea7a066cdba69d7cda5855d80dbff96f6)
を得る.この結果は
は明らか[2]であるから,対応
からも直ちに出る.
の場合にすでに用いた技法である.
さて,後で必要になるもう一つの公式を導いておこう.上述の記号を用いると,
![{\displaystyle {\frac {df_{n}}{dt}}=f_{n-1}*\cos \beta t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb901e1b918745971b9b4b191dd553ae39663b34)
であるが,これをもう一度微分する.
[3]
よって次の結果を得る.
公式 1
![{\displaystyle {\frac {d^{2}f_{n}}{dt^{2}}}+\beta ^{2}f_{n}=f_{n-1}\quad (n=2,3,\cdots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e487704d022fc300ded8d517c05fbaf09759d45)
(2.33)
[4]
さて,合成積の微分の公式は,通常の積の微分の構造:
![{\displaystyle {\frac {d(f\cdot g)}{dt}}={\frac {df}{dt}}g+f{\frac {dg}{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efd40eb60580d77a40fb23e313b8a798da8744f2)
を持っていない.同様な構造を持つものは,単に
を掛けるという演算である.
補題 2.3
![{\displaystyle t(f*g)=(tf)*g+f*(tg)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a569c887a7c3bd88589f4752945ad58a742426f)
証明
![{\displaystyle (tf)*g+f*(tg)=\int _{0}^{t}(t-\tau )f(t-\tau )g(\tau )d\tau +\int _{0}^{t}f(t-\tau )\tau g(\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08b1a848d7dfa7a0a42a2ead5029cd1d1317dfd2)
![{\displaystyle =\int _{0}^{t}\left[tf(t-\tau )g(\tau )-\tau f(t-\tau )g(\tau )+\tau f(t-\tau )g(\tau )\right]d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a807fbaa13344c0b0c50992dc94ab6f4fef6715)
![{\displaystyle =\int _{0}^{t}tf(t-\tau )g(\tau )d\tau =t(f*g)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0165ad8a4061597498badab471c4f211a76ff6ad)
合成積に対しては
を掛けるという演算が微分の構造を持っているので,次のような計算ができる.
![{\displaystyle \underbrace {f*f*\cdots *f} _{n{\text{個}}}=:(*f)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5469d2cdfb58d546e3333ff90f88fc322377989)
とおくと,
(2.33b)
![{\displaystyle t(*f)^{n}=n(*f)^{n-1}*(tf)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2338632ce808a780f18aa7e3af8a846b369b4052)
を得る[5].とくに,
![{\displaystyle f_{n}(t)=(*{\frac {1}{\beta }}\sin \beta t)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/471990c1ff505c4dd1e75f89283e60c509080686)
のときは,
(2.34)
![{\displaystyle tf_{n}=nf_{n-1}*{\frac {t}{\beta }}\sin \beta t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bcb79b0ada8242193fd53830004bd668d4a81ec)
となる.
なぜ合成積に対しては
を掛けることが微分することを意味するのかは,Laplace 変換の像関数の世界で考えてみれば納得できるが,それは後ほど説明することにして,本題に入ろう.
公式 2
![{\displaystyle {\frac {1}{(s^{2}+\beta ^{2})^{n}}}\sqsubset f_{n}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e26513a03d68435d1e1066fec1fe0b74e98961e)
とおけば,
(1)
![{\displaystyle \quad {\frac {s}{(s^{2}+\beta ^{2})^{n}}}\sqsubset {\frac {t}{2(n-1)}}f_{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bf0bbfd69d69887e746056e824ab214a3d264a5)
(2.34b)
(2)
![{\displaystyle \quad f_{n+1}={\frac {1}{2\beta ^{2}}}\left\{{\frac {2n-1}{n}}f_{n}-{\frac {t^{2}}{2n(n-1)}}f_{n-1}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c07a66354b2954c30fb2fdac000c96003791f131)
証明
(1)
を示せばよい[6].
(2.21)
![{\displaystyle {\frac {1}{\beta }}\sin \beta t*\cos \beta t={\frac {t}{2\beta }}\sin \beta t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f3a14fba9dd9c1c4bc2db3ada959a78beccb525)
であったから,
(2.32b)
![{\displaystyle {\frac {df_{n}}{dt}}=\underbrace {{\frac {1}{\beta }}\sin \beta t*{\frac {1}{\beta }}\sin \beta t*\cdots *{\frac {1}{\beta }}\sin \beta t} _{n-1{\text{個}}}*\cos \beta t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b6bcfae291a663b2c56e516b7600f7fa44fbe03)
![{\displaystyle =f_{n-2}*{\frac {t}{2\beta }}\sin \beta t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e05da7842d7db7032ff14c9643af560235963b06)
となる.これに式 (2.34) を考慮すれば,
[7]を得る.
(2) 上の結果 (1) を二度用いると、
![{\displaystyle {\frac {d^{2}f_{n+1}}{dt^{2}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {t}{2n}}f_{n}\right)={\frac {f_{n}}{2n}}+{\frac {t^{2}}{4n(n-1)}}f_{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d60523834ed02d0ef3095cdab991ea77645c7b00)
となるが,これと式(2.33) の結果,
![{\displaystyle {\frac {d^{2}f_{n+1}}{dt^{2}}}=-\beta ^{2}f_{n+1}+f_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a750c01da3c4abdf4c91e3a0eb634101a4babfa2)
を等置すれば,求める結果を得る.